チェーンリングの歯数を知るだけで、正確な直径を決定できますか？

チェーンリングは、n辺の正多角形で、nは歯の数です。多角形の辺の長さsは、各チェーンリングの歯の先端から先端までの距離です。

正多角形の半径の式は次のとおりです。

_{（ソース：mathopenref.com）}

zenbikeの上記の12.75mmをsに使用すると、半径は107.61、直径は215.22mmとなり、彼の近似値に非常に近いものになります。

2つの式を比較すると、予想通り、長さの項を削除できることがわかります。これは私たちに残します：

1 / sin（pi / n）対n / pi

大きなnの場合、これらの項は収束し、n = 53の場合、わずか.12mmの誤差が生じます。nが小さくなると少し大きくなり、n = 11の場合は.64mm異なります。

すべての実用的な目的のために、私はs * n / piを使用します。これは、遭遇する最小の歯車の場合でも、1ミリメートル以内になるでしょう。

チェーンのピッチ（ほとんどの自転車の標準）と歯の数だけがわかっている場合は、ピンの中心のみを介して円（およびNゴン）を完全に記述することができます。私はテキストで読みやすい方法で数式を実行するために最善を尽くしますが、4つの円/ n角のそれぞれについて完全に説明します。

みましょう：

n =歯の数

L =チェーンピッチ（リンク長）（ほとんどの自転車で12.7mm）

谷、ローラーの上部、および歯の上部の測定については、以下を参照してください。歯先がメーカー間で異なる可能とすることを注意しますリングの寿命を通して変化。下部にある別の方法は、おそらくフレームのクリアランスに使用する最も簡単な方法です。

チェーンのピッチがわかっているので（1/2 "または12.7mmは通常自転車で使用される40シリーズチェーンです）、チェーンピンは通常のn角形（n辺の長さが等しい多角形）を形成します。 、各辺は12.7mmです。このnゴンの外周の式はかなり単純で（下）、ほとんどの近似では問題ありません。これは、周囲を包むチェーンの長さにも等しいことに注意してください。リング（チェーンは、円ではなく、nゴンに従います）。

ピンの中心によって作成されたnゴンの周囲

nゴンの周長= L * n = 12.7 * n mm

ただし、これはピンの中心を通る円を記述するのに完全に正確ではありません。より正確な式は次のとおりです。

ピンの中心を通る円

円周= pi * L /（sin（180 / n））= 39.8982 /（sin（180 / n））mm

半径= L /（2 sin（180 / n））= 6.35 / sin（180 / n）mm = 'pcRad'（ピンの中心半径）

直径= L / sin（180 / n）= 12.7 / sin（180 / n）mm = 'pcD'（ピンの中心直径）

ここで、2つの関連する円/ n角形を説明するための追加情報が必要になります。

谷底とローラートップの場合、ピンの周りのチェーンローラーの半径または直径を知る必要があります。http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chainによると、40シリーズチェーンのローラー直径は0.312 "（7.92mm）です。ピンの中心から谷の底までの距離は、ローラー：

谷底の周りの円/ n角

rRad =ローラー半径（ほとんどの自転車では3.96 mm）

谷底のn角形の周長= 2 * n *（pcRad-rRad）* sin（180 / n）

= 2n *（pcRad-3.96）* sin（180 / n）mm

floorRadius = pcRad-rRad = pcRad-3.96 mm

floorDiameter = 2 * fRad = pcD-2 * rRad = pcD-7.92 mm

チェーンローラーの上部の円/ n角

ローラー上部のn角形の周長= 2 * n *（pcRad + rRad）* sin（180 / n）

= 2n *（pcRad + 3.96）* sin（180 / n）mm

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3.96 mm

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7.92 mm

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi *（pcD + 2 * rRad）= pi *（pcD + 7.92）mm

ここで、最後の円/ nゴンを説明するには、ピンの中心より上の歯の高さが必要です。これは新しいチェーンリングではプラスになり、摩耗したリングではマイナスになると思います。

歯先のサークル/ n-gon

t =ピンの中心より上の歯先の高さ（下の場合は負）

歯先のn角形の外周= 2 * n *（pcRad + t）* sin（180 / n）

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi *（pcD + 2 * t）

または、この計算を少し簡単にするために（摩耗したチェーンリングでは正確さが少し低くなります）、独自の歯の間隔を測定できます。理想的には、それらはチェーンピッチよりわずかに長くなりますが、チェーンが摩耗すると変化します。

歯先のサークル/ n-gon-交互

tSpacing =歯先間の平均距離

歯先のn角形の外周= n * tSpacing

tipRadius = tSpacing /（2 sin（180 / n））

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing / sin（180 / n）

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpacing /（sin（180 / n））

編集：

私はこの質問をmath.seに投稿し、興味深い回答を得ました。これは基本的に、ランティウスの回答がより正確な数学的モデルであり、私の自転車の世界の実際的な近似であると私が確認しています。

歯の数だけで、いいえ。

しかし、歯の数と、使用するチェーンリングのブランドのチェーンと一致するように各歯の先端から先端までの必要な間隔が与えられれば、円周を簡単に決定できます。

円周があれば、直径を決定するのは簡単な計算です。

直径をPiで除算します（3.14159から小数点以下第5位）

C = D / 3.14159

したがって、歯の数が53で、間隔が12.75 mmの場合、円周は675.75ミリメートルになります。

675.75ミリメートルを3.14159で割ると、直径は215.1ミリメートルになります。2か所に変換および丸められた、8.46インチです。

53歯のShimanoチェーンリングの直径を測定しましたが、8.51インチです。ですから、私の計算は私の測定の許容誤差と同じくらい正確でなければならないと思います。