歳差運動が楕円軌道に及ぼす影響をどのように計算しますか？

ケプラーの最初の法則は、惑星（および別の天体を周回するすべての天体）が楕円軌道を移動することを定めています。楕円軌道は、軌道要素と関連する動作を比較的簡単に計算できる既知の式を持っています。ただし、進行中の歳差運動は軌道が絶えず変化していることを意味します。つまり、惑星は実際に最初に設定された楕円内を移動しているわけではありません。歳差運動とそれに関連する影響を計算できます（この質問と回答は役に立ちます）が、楕円軌道が歳差運動によってどのように「変形」されるかを計算する方法はありますか？

良い出発点は、<昔の科学者の名前を挿入>惑星の運動方程式です。たとえば、ラグランジュの惑星方程式（ラグランジュ-ラプラス惑星方程式と呼ばれることもあります）、ガウスの惑星方程式、ドローネの惑星方程式、ヒルの惑星方程式などがあります。これらのさまざまな惑星方程式の共通のテーマは、一般化された位置に関する摂動力/摂動ポテンシャルの偏微分の関数として、さまざまな軌道要素の時間微分を生成することです。

$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$$\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$

これらの手法は古いものですが、これらの惑星方程式は今日でも使用されています。私たちがコンピュータを持っているので、時々あなたが「熱い混乱」をすることは大丈夫です。人々は、惑星積分方程式と幾何学的積分技術を組み合わせて使用​​することで、高速、正確、安定で、長期間にわたって角運動量とエネルギーを保存する積分器を生み出しています。（通常、これらのすべてを使用することはできません。2つまたは3つしか得られない場合は幸運です。）これらの惑星方程式のもう1つの優れた機能は、共鳴などの機能によって、本来なら真実では見えないことです。デカルト運動方程式の「熱い混乱」。

日付でソートされた選択された参照資料：

ヒル（1900）、「月の理論におけるドローネの方法の惑星運動の一般的な問題への拡張について」、アメリカ数学会のトランザクション、1.2：205-242。

ヴァラド（1997年以降）、「宇宙力学とアプリケーションの基礎」、さまざまな出版社。それがあなたの財布を突き通す穴を除いて、あなたはこの本で間違って行くことはできません。

エフロイムスキー（2002）、「ケプラー要素の方程式：隠された対称性」、数学研究所とその応用

Efroimsky and Goldreich（2003）、「ハミルトンヤコビアプローチにおけるN体問題のゲージ対称性」。Journal of Mathematical Physics、44.12：5958-5977。

ワイアット（2006-2009）、惑星系の大学院講義コース、天文学研究所、ケンブリッジ。
ラグランジュの惑星方程式の結果をスライド6に示します。

ケッチャム他 （2013）、「太陽系外惑星システムにおける平均運動共鳴：うなずく行動への調査」。天体物理ジャーナル 762.2。

$-k/r$

それ以外はすべて楕円ではありませんが（非結合軌道は放物線または双曲線）、ほとんどの偏差は小さくなります。小さな偏差は、物体の質量分布（特に太陽）の四重極項、非重力（放射圧、ダスト粒子に対するガスの抗力）、非ニュートン（GR）効果など、いくつかのソースから発生する可能性があります。他のオブジェクト（他のすべての惑星）からの摂動。ニュートン自身もこの最後の効果をよく知っていました。

偏差が小さい場合、それらを推定する従来の方法は、摂動論であり、摂動されていない（楕円）軌道に沿って摂動力を積分します。たとえば、近心転位の歳差を取得するために、偏心ベクトルへの変更を統合できます。そのベクトルの回転は、近葉歳差運動に対応します。正確な例については、この質問に対する私の回答を参照してください。

デビッド・ハメンが書いた

人々は惑星の方程式と幾何学的な統合技術を組み合わせて使用​​しています...

また、ニュートンの法則を使用してオブジェクトの質量、位置、速度、加速度を操作する簡単な有限ステップシミュレーション（私が呼ぶもの）を試すこともできます。これがDavidが「幾何学的統合技術」と呼んでいるものに当てはまるかどうかはわかりません。私のポイントは、惑星方程式を組み込むことなくそれを行うことができるということです。不利な点=シミュレーターは近似を使用して「コーナーをカット」します。これにより、アーティファクトであるモデルの動作が発生します。これらの欠点は、他の手法を使用することで克服できます。利点=コードの設計が容易になり、惑星の方程式（およびその仮定）が番組を動かしているという疑いを回避できます。

$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$$dt=0$$\approx 11.9$

フェイムナンを引用するには：

問題によっては、計算の1サイクルで、30回の乗算などがあるため、1サイクルで300マイクロ秒かかる場合があります。つまり、1秒あたり3000サイクルの計算を実行できます。たとえば、10億分の1の精度を得るには、太陽の周りの惑星の1回転に対応する4×10 ^ 5サイクルが必要です。これは、130秒または約2分の計算時間に相当します。したがって、太陽の周りの木星をたどるのに2分しかかかりません。この方法により、すべての惑星のすべての摂動が10億分の1に修正されます。

しかし、シミュレーションから確実に推測できることについて慎重に検討する必要があります。たとえば、タイムステップが数百秒より長い場合、シミュレーションは実際に発生する方向とは逆方向の歳差運動を示します（つまり、逆行すると逆行します）順行する必要があります）。