この有名な惑星歳差運動はどこから来たのですか？

次の方程式（私は惑星歳差運動式、略してPPFと呼びます）は、アインシュタインの1915年の出版物で有名に出ており、アインシュタインの一般相対性理論（GTR）からどのように導出できるかを示しています。

ϵ = \frac{24 π^{3} a^{2}}{c^{2} T^{2} (1 - e^{2})}

$\epsilon = \frac{24 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}$

ここで、 $\epsilon$ は軌道ごとの（異常な非ニュートン）角度歳差、 $a$ は軌道の半長軸、 $c$ は光速、 $T$ は軌道周期、 $e$ は軌道楕円率です。

PPFの公式は、水星およびその他の太陽惑星の（異常な非ニュートン）歳差運動を正確に予測します。

この公式は1915年より前に科学界で知られていました。たとえば、ガーバー（1898）は彼自身の（広く決定された）重力モデルからそれを導き出しました。インターネットの記事「ガーバーの重力」には、

1890年代には、物理学者が水星の軌道歳差の一部またはすべてを説明するために有限の伝播速度に基づいてさまざまな重力ポテンシャルを提案することはかなり人気のある活動になりました。オッペンハイムは、1895年にこれらの提案のレビューを発表しました。このような提案の典型的な結果は、1回転あたりの軌道近日点の予測される非ニュートン的前進です...>

k \frac{π m}{L c^{2}} = k \frac{4 π^{3} a^{2}}{c^{2} T^{2} (1 - e^{2})} .

$k\,\frac {\pi\,m}{L \,c^2} = k \frac{4 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}.$

ここで、楕円の半latus直腸であり、角速度の関数であり、旋回惑星の：とと IS理論から派生した定数。 $L = a(1 - e^2)$ $m$ $\omega$ $m = a^3 \omega^2$ $\omega = 2\pi/T$ $k$

明らかに、上記のPPF式が得られます。 $k = 6$

私はどこ知りたい式がから来ています。記事からそれはここでスキャンされたオッペンハイム、1895年による28ページのレビューペーパーから来ているように見えるでしょう。私はこのペーパーをスキャンしてきましたが、その方程式を明確に見つけることはできませんでした（このペーパーはドイツ語であり、私はあまり理解していませんが、Google翻訳は少し役立ちますが、あいまいさが多く残ります）記事の匿名の著者がオッペンハイムの論文またはオリジナル（フランス語およびドイツ語）の論文自体のレビューから表現を抽出した可能性がありますが、彼は連絡できません。多分ここの誰かがこの天体物理学の歴史の時代に精通していて、正しい方向に私を向けることができますか？ $k\pi m/Lc^2$

orbit general-relativity

— steveOw
ソース

興味深い質問です。細かい注意点：のように、大規模な数学環境内にピリオドを配置した場合$$formula\text{.}$$、末尾のピリオドがすべて1行に表示されることはありません。

— Stan Liou 2014年

@Stan Liou。良いスタイルはコミュニケーションを助けるので、私はそのようなヒントを受け取ってうれしいです:)。

— steveOw 2014年

その公式が最初にどこで完全に公開されたのかはわかりませんが、オッペンハイムは少なくともそれに非常に近いことをしています。まず、Oppenheimのいくつかの関連するシンボルに注意してください。これらはかなり標準的ですが、できます表記法をマッサージすると、探している比例関係は同等に次のように表されます。

\begin{array}{rcl} k & = & \sqrt{G} = Gaussian gravitational constant \\ ☊ & = & longitude of the ascending node \\ ω & = & argument of perihelion \\ ϖ & = & ω + ☊ = longitude of perihelion \\ n & = & k \sqrt{(m_{0} + m_{1}) / a^{3}} = mean motion \end{array}

$\def\anode{☊}\begin{eqnarray*} k &=& \small\sqrt{G} = \small\text{Gaussian gravitational constant}\\ \anode &=& \small\text{longitude of the ascending node}\\ \omega &=& \small\text{argument of perihelion}\\ \varpi &=& \omega+\anode = \small\text{longitude of perihelion}\\ n &=& \small{k\sqrt{(m_0+m_1)/a^3}} = \small\text{mean motion} \end{eqnarray*}$

\frac{π m}{L c^{2}} ⇝ \frac{π G M}{a (1 - e^{2}) c^{2}} ⇝ \frac{π n^{2} a^{2}}{(1 - e^{2}) c^{2}} .

$\frac{\pi m}{Lc^2} \leadsto \frac{\pi GM}{a(1-e^2)c^2} \leadsto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}\text{.}$ 平均運動は（は軌道周期）であるため、これは、近日点通過について軌道ごとのこれはの形式の項について話すのと同じです実際にどこかにある場合、オッペンハイムは欠落因子を考慮します

n \equiv 2 π / T

$n\equiv 2\pi/T$

T

$T$

\frac{n^{3} a^{2}}{c^{2}} = 2 π \frac{n^{2} a^{2}}{c^{2}} \frac{1}{T},

$\frac{n^3a^2}{c^2} = 2\pi\frac{n^2a^2}{c^2}\frac{1}{T}\text{,}$

δ ϖ \propto \frac{π n^{2} a^{2}}{(1 - e^{2}) c^{2}}

$\delta\varpi \propto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}$

\frac{d ϖ}{d t} \propto \frac{n^{3} a^{2}}{(1 - e^{2}) c^{2}} = \frac{n^{3} a^{2}}{c^{2}} (1 + e^{2} + O (e^{4})) .

$\frac{\mathrm{d}\varpi}{\mathrm{d}t} \propto \frac{n^3a^2}{(1-e^2)c^2} = \frac{n^3a^2}{c^2}\left(1+e^2+\mathcal{O}(e^4)\right)\text{.}$

(1 - e^{2})

$(1-e^2)$ 異常な歳差運動に属するものとして、しかしそれ以外の場合、式は間違いなくそこにあります。私は彼が円軌道近似、のみを使用しているのではないかと思います。IV（ウェーバーの1846理論）と彼の計算（sans）を実行すると、水星の世紀あたり得られ、結果とよく一致します。一方、係数を手動で入力すると、代わりにられます。

e^{2} \approx 0

$e^2\approx 0$

1 - e^{2}

$1-e^2$

δ ϖ = {13.72}^{″}

$\delta\varpi = 13.72''$

δ ϖ = {13.65}^{″}

$\delta\varpi = 13.65''$

(1 - e^{2})

$(1-e^2)$

δ ϖ = {14.32}^{″}

$\delta\varpi = 14.32''$

おそらくオッペンハイムはそれを明確に考慮しなかったのであろうMathPages。あるいは、私が見ないテキストにサイドコメントがあるかもしれません。残念ながら、私はドイツ語で流暢に話せないのです。

— スタン・リウ
ソース

の意味と省略を指摘していただきありがとうございます。なるほどに登場オッペンハイム22ページの一番下の近くにも表示されますで 27ページ（フォン・クラウジウス）。しかし、あなたが指摘するように、これらは期待される形式ではありません。

k

$k$

(1 - e^{2})

$(1-e^2)$

e

$e$

d L_{o} / d t = (1 / 2) e^{2} . n^{3} a^{2} / c^{2}

$dL_o/dt = (1/2)e^2.n^3a^2/c^2$

e

$e$

d ϖ / d t

$d\varpi/dt$

1 / (1 - e^{2})

$1/(1-e^2)$

— steveOw 2014年