月が満ちているかどうか、観測からではなく数学的にどうやって知るのですか？

私は惑星の周りの月の軌道を表す方程式について知っています。私は月の準主軸と離心率を知っています。それらが軌道に乗る星を持つホストの世界についても同じです。

惑星から見たときに、月のどの程度が夜に照らされているか、おそらくどれほど明るいかを示す方程式はありますか？

月の位相は、太陽、月、地球の間の位相角によって定義できます。たとえば、0度では月は満月、180度では新月と定義されます。月が特定の角度でどれだけ明るいかを知りたい場合は、位相角を使用して、月の見かけの絶対等級を見つけます。

$H$

$$m = H + 2.5 \log_{10}{\left(\frac{d_{BS}^2 d_{BO}^2}{p(\chi) d_0^4}\right)}\!\,$$

$d_0$$\chi$$p(\chi)$$d_{BO}$$d_{BS}$$d_{OS}$

$$p(\chi) = \frac{2}{3} \left( \left(1 - \frac{\chi}{\pi}\right) \cos{\chi} + \frac{1}{\pi} \sin{\chi} \right)$$ $\chi$$H_{Moon} = +0.25$$d_{OS} = d_{BS} = 1$$d_{BO} = 0.00257$

$$m_{Moon} = 0.25 + 2.5 \log_{10}{\left(\frac{0.00257^2}{p(\chi)}\right)}$$

これで、任意の位相角での月の見かけの大きさを概算する式が得られました。ただし、これは近似値を示しますが、100％正確ではありません。天文学者は、経験的に導き出された関係を使用して、正確さが必要なときに見かけの大きさを予測します。

位相角を考慮して、見かけの大きさを計算するために私が書いた簡単なスクリプトは次のとおりです。https： //jsfiddle.net/fNPvf/33429/

これが実際的なアプローチです。アルゴリズムと方程式はソフトウェアライブラリとしてパッケージ化されています。

PyEphemをインストールします。

http://rhodesmill.org/pyephem/

それを実行します：

$ python
Python 2.7.12 (default, Jun 29 2016, 14:05:02) 
[GCC 4.2.1 Compatible Apple LLVM 7.3.0 (clang-703.0.31)] on darwin
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import ephem
>>> moon = ephem.Moon(ephem.now())
>>> print moon.phase
32.316860199
>>> print(ephem.next_new_moon(ephem.now()))
2016/9/1 09:03:05
>>> print(ephem.next_full_moon(ephem.now()))
2016/9/16 19:05:05
>>> 

'phase'は0（新月）から100（満月）の間です。

詳細：

http://rhodesmill.org/pyephem/tutorial.html