この種のタスクにはプラグインを使用すべきではないと思います。また、hkcの答えは実際にはそれほど悪くはありません。nav_menu_item投稿タイプ(wpナビゲーションメニューに使用されるもの)でこの作業を行うには、さらに詳しい説明が必要です。
この投稿タイプは既に登録されているため、変更する必要がありregister_post_type_argsます。これは、フィルターにフックすることで簡単に実行できます。このフィルターにより、特定の投稿タイプの引数を変更できます。以下のコードは、nav_menu_item投稿タイプのコードを示しています。
add_filter('register_post_type_args', function ($args, $post_type) {
    if ($post_type == 'nav_menu_item' &&
        class_exists('WP_REST_Posts_Controller') &&
        !class_exists('WP_REST_NavMenuItem_Controller')) {
        class WP_REST_NavMenuItem_Controller extends WP_REST_Posts_Controller {
            public function get_items( $request ) {
                $args = wp_parse_args($request, [
                    'order' => 'ASC',
                    'orderby' => 'menu_order',
                ]);
                $output = [];
                if (empty($request['menu'])) {
                    $menus = get_registered_nav_menus();
                    foreach ( $menus as $location => $description ) {
                        $items = wp_get_nav_menu_items($location, $args);
                        $output = array_merge($output, is_array($items) ? $items : []);
                    }
                } else {
                    $items = wp_get_nav_menu_items($request['menu'], $args);
                    $output = array_merge($output, is_array($items) ? $items : []);
                }
                return rest_ensure_response($output);
            }
            public function get_collection_params() {
                $query_params = parent::get_collection_params();
                $query_params['menu'] = [
                    'description' => __( 'The name or also known as theme_location of the menu' ),
                    'type' => 'string',
                ];
                return $query_params;
            }
        }
        // Alter the post type arguments
        $args['show_in_rest'] = true;
        $args['rest_controller_class'] = 'WP_REST_NavMenuItem_Controller';
    }
    return $args;
}, 10, 2);
上記のコードからお気づきかもしれませんが、このコードはRESTで投稿タイプを表示するだけではありません。また、デフォルトのPosts RESTコントローラーを変更して、Lirenの回答で説明されているRESTに多少似た出力を表示します。その次には、すべての投稿タイプのRESTコントローラーが行うことも行うため、より多くの制御と機能を提供します。また、これは他のRESTルートと競合しないため、より安定したオプションであると考えてください。