皮肉なことに、答えはこのページと他のすべてのStack Exchangeサイトにあります:)
サイトのOpenSearchDescriptionを定義する必要があります。このページのソースコードを見ると、ヘッダーに表示されます。
<link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" title="Pro Webmasters - Stack Exchange" href="https://webmasters.stackexchange.com/opensearch.xml">
opensearch.xml
ここで参照を開くと、次のように表示されます。
<OpenSearchDescription xmlns="http://a9.com/-/spec/opensearch/1.1/" xmlns:moz="http://www.mozilla.org/2006/browser/search/">
<ShortName>Webmasters</ShortName>
<Description>Search Webmasters: Q&A for pro webmasters</Description>
<InputEncoding>UTF-8</InputEncoding>
<Image width="16" height="16" type="image/x-icon">http://sstatic.net/webmasters/img/favicon.ico</Image>
<Url type="text/html" method="get" template="http://webmasters.stackexchange.com/search?q={searchTerms}"/>
</OpenSearchDescription>
あなたのサイトに同じものを実装する必要があります。重要なのは、ブラウザが実際の検索を実行するために使用する、サイトに実装されたある種の検索が必要なことです。これは、XMLのテンプレート部分で指定されています。
http://webmasters.stackexchange.com/search?q={searchTerms}
サイトに現在検索がない場合、Googleカスタム検索をこの目的に使用できます。