回答:
2017年5月現在、パブリックフォルダーは標準のプライベートフォルダーに変換されています（この変換は、2017年3月15日にDropbox Basicユーザーに対して行われました）。
HTMLファイルのブラウザー内レンダリングも中止されています（正確な日付については、以下の引用された段落を参照してください）。この質問に対する固定された回答によれば、共有HTMLファイルはブラウザー内でレンダリングされるのではなく、ダウンロードのみで利用可能になります。
2016年10月3日現在、Dropbox Basic（無料）ユーザーは、パブリックリンクを使用してWebブラウザーでHTMLコンテンツをレンダリングできなくなりました。ベーシックユーザーで、DropboxアカウントのHTMLコンテンツを直接表示するWebサイトを作成した場合、ブラウザーでレンダリングされなくなります。HTMLコンテンツ自体はDropboxでも安全であり、他の共有方法を使用して共有できます。
2017年9月1日より、Dropbox Pro、Plus、およびBusinessユーザーはHTMLコンテンツをレンダリングできなくなり、パブリックフォルダーとその共有機能は無効になります。その日まで、Dropbox Pro、Plus、およびBusinessユーザーは引き続きパブリックリンクを使用してHTMLコンテンツをレンダリングできます。
From：https : //www.dropbox.com/help/files-folders/public-folder
他の静的ファイルのホストについては、Dropboxの共有CSSファイルをHTMLファイルに含めることを手動でテストしました。ファイルに対して与えられた共有リンクは次のようなものでした：
https://www.dropbox.com/s/anxsno1zw25jo34/test.css?dl=0
このリンクをCSSファイルに含めようとしても機能しませんでした（そのページはファイルのDropbox "web viewer"のHTMLを返します）が、dl=1代わりにクエリパラメーターを使用すると機能しました。
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://www.dropbox.com/s/anxsno1zw25jo34/test.css?dl=1">
ただし、この方法でCSSを含めると、この共有URLへの要求がHTTP 302ステータスコードで応答し、別のURLにリダイレクトされるため、追加のリダイレクトが追加されました。
https://dl.dropboxusercontent.com/content_link/Q5jNr3kDXOtSyrXFw7qM4LYMMZynVb0YrnUdPLXtiVbBXG1bor57HxlVQ2T3V3tu/file?dl=1
このリンクを使用してCSSを含めるとリダイレクトがバイパスされますが、これが永続的なURLであるか、将来変更される可能性があるかはわかりません（リダイレクトするURLは永続的に機能するはずです）。
Dropboxからのホットリンク（直接埋め込み）画像は同じように動作するようです（dl=1クエリパラメーターとの共有リンクは機能しますが、リダイレクトが発生します）。
彼らは完全にそれを禁止していないので、DropboxでWebサイトをホストすることを許可されていると言っても安全だと思います。CNAMEポインティングを介して設定する方法についてのウィキページ、「Dropboxを使用したWebサイトのホスト」（公式のDropbox wikiセクションでホストされた情報を含む）があります。
帯域幅が心配な場合は、DropboxフォーラムのArash Fの投稿をご覧ください。
帯域幅の制限に達した無料のユーザーは、特定の日に10のGBの帯域幅の倍数を使用しているので、帯域幅の制限に非常に寛大であるので、フォーラムで彼らに同情しません;-)。
dropbox.jsでリリースされた静的Webアプリコンソールを使用して、静的Webアプリケーションをホストできるようになりました。
dropbox.jsのリリースアナウンスメントにはもう少し詳細があり、サンプルアプリケーションを示しています。