回答:
@robは正しい。GNOMEは技術的には公式のGNUプロジェクトです。しかし、興味深い歴史がたくさんあります。
1996年です。デスクトップ環境はありません。ユーザーとシステム管理者は、プログラムの寄せ集めから環境を構築します。異なるウィンドウマネージャ、異なるアプリケーション、おそらくドック。市場には、QtとGTK +の2つの主要なツールキットがあります。Qtはしばらく前から存在し、Trolltechという会社の商用製品でした。GTK +もかなり前から存在していました。もともとGIMPで使用するために作成されていたため、FSFとは大まかに関連付けられていました。（たとえば）Motifのようなツールキットは他にもありましたが、この説明の目的上、それらについては気にしません。
KDEとしても知られるKoolデスクトップ環境は、UNIXシステム用の統合デスクトップ環境がなかったという事実に対応して、その年の10月に作成されました。（KDEプロジェクトは、未定義の "K"を優先して "Kool"をすぐに削除しました。明らかに良い選択でした。）KDEの作成者であるMatthias Ettrichは、Qtを新しいデスクトップに使用することを選択しました。これはフリーソフトウェアコミュニティにとって大きな問題でした。つまり、Matthiasが作成したすばらしい無料のデスクトップを使用するには、独自のソフトウェアであるQtをインストールする必要があります。
FSFは、1つではなく2つのプロジェクトで応答しましたが、万が一失敗した場合に備えて、両方とも並行して動作します。1つ目は、Harmonyというプロジェクトです。Harmonyは、LGPLライセンスのAPI互換のQtのフリーソフトウェアクローンになることを目的としていました。アイデアは、コミュニティがKDEを保持し、独自のビットを単に置き換えるというものでした。
Harmonyプロジェクトは実際にはうまくいきませんでした。2000年にQtが完全にフリーソフトウェア（FSFの定義による）に再ライセンスされるまで、開発は約4年間続いたため、Harmonyの元の動機はなくなりました。再ライセンスと2番目のプロジェクトの成功により、ハーモニーは放棄されました。
もう2番目のプロジェクトが何であるかを推測したに違いない。それはGNOMEでした。
上記の履歴を示しました。それでは、すべてを素敵な結び目で結びましょう。
それで、あなたの質問に答えるために：はい、GNUとGNOMEの間に関係があります。GNOMEはGNUプロジェクトの公式デスクトップ環境であるため、公式GNUプロジェクトであり、GNUオペレーティングシステムの一部です。歴史的には、KDEのQtへの依存に応えてGNUによって作成されました。実際、GNOMEのGはGNUの略です。完全な頭字語は、GNU Network Object Model Environmentに拡張されます-これは、プロジェクトが「コアGNOMEビジョンに適合しない」と判断したため、計画されていたが実装されなかった技術を指します。
とはいえ、GNOMEは今では巨大なプロジェクトです。GTK +は、独立したプロジェクトではなく、最近のGNOMEの人々によって保守されています。エンティティとしてのGNOMEは、歴史的および技術的に関連していても、GNUから独立していると言っても安全です。GNOMEには独自のインフラストラクチャがあります。独自のコミュニティ。独自のガバナンスプロセス。
サイドノートとして、これがGNOMEとKDEが最近（友好的）ライバルである理由でもあります。KDEが設立された1996年に、GNOMEはKDEと直接競合するという明確な目的を持って作成されたためです。そして、その競争は現在までずっと続いています。
Gnomeは、GNUフリーソフトウェアコレクションhttp://www.gnu.org/software/software.htmlの公式部分です。