一重引用符とバックスラッシュ

~$ echo $'\'test'
'test

man bash 言う：

文字を単一引用符で囲むと、引用符内の各文字のリテラル値が保持されます。バックスラッシュが前に付いている場合でも、単一引用符は単一引用符の間に出現しない場合があります。

なぜそれがecho-コマンドで機能するのですか？

単一引用符'...'は、ドル単一引用符とは異なります$'...'。前者はバックスラッシュをサポートしていませんが、後者はANSI C仕様を使用しています。

chorobaの答えは完全に正しいです。ここからの詳細man bash：

$ 'string'形式の単語は特別に扱われます。単語は
ANSI Cの指定に従ってバックスラッシュでエスケープされた文字が置き換えられた文字列
標準。バックスラッシュエスケープシーケンスが存在する場合は、次のようにデコードされます。
              \警告（ベル）
              \ bバックスペース
              \ e
              \ Eエスケープ文字
              \ fフォームフィード
              \ n改行
              \ rキャリッジリターン
              \ t水平タブ
              \ v垂直タブ
              \\バックスラッシュ
              \ '単一引用符
              \ "二重引用符
              \？疑問符
              \ nnn値が8進数の値である8ビット文字
                     nnn（1から3桁）
              \ xHH値が16進数である8ビット文字
                     値HH（1桁または2桁の16進数）
              \ uHHHH Unicode（ISO / IEC 10646）文字で、その値は
                     16進値HHHH（1から4桁の16進数）
              \ UHHHHHHHH
                     値がであるUnicode（ISO / IEC 10646）文字
                     16進値HHHHHHHH（1から8桁の16進数）
              \ cx control-x文字

それが理由です！