回答:
更新（2017年12月現在）：トルコ政府は、再び電子ビザ（20米ドル）と到着ビザ（30米ドル）を米国市民に発行しています。
以下の詳細は現時点では不正確ですが、歴史的な参照用に残されています。
他の答えは間違っています。
Timaticで述べたように、航空会社が使用するデータベース：
アメリカ国民を除き、ビザが必要です。到着時に最大3か月間滞在できます。これは、米国を出発し、直接トルコに旅行するか、24時間以内に第三国を通過する米国の国民には適用されません。
ですから、他の場所で少なくとも24時間ストップオーバー（搭乗券を使用して証明できる）をすると、到着時にビザを取得できます。
それでも確信が持てない場合は、空港で警察に電話して質問してください（+90 212 463 30 00）。彼らが英語を話す保証はありません。
更新：Timaticが更新されました。
アメリカ国民以外はビザが必要ですが、到着時に最大3か月間滞在できます。彼らは米国以外の国から到着し、居住国から発行された居住許可を持っている必要があります。
したがって、米国に居住するアメリカ人は、到着時にビザを取得できなくなりました
いいえ、もちろん違います。外交紛争のため、米国市民に対するトルコのビザの発行は10月8日に厳しく制限されました（逆も同様）。それ以前は、米国市民はオンラインで電子ビザを申請することができましたが、通常はすぐに付与されます。現在、米国市民はトルコの領事館または外国の代表でビザを申請する必要があり、ビザは非常に例外的な場合にのみ付与されます。
この場合、どこから飛んでいるかは関係ありません。実際のところ、事前にビザがなければ、入国する資格がないため、どの航空会社もイスタンブールへのフライトに搭乗することを拒否します。
編集：私はアタチュルク空港に電話して、MFAからの公式情報と現在の移民警察の慣行が明らかに一致しない理由を尋ねようとしました。私が空港で話しかけた人は私の質問に答えたくなかったか、または答えることができませんでしたが、代わりにアンカラの外務省の番号である+90 312 2921000に電話するように頼みました。そこでは、なんらかの案内デスクと連絡が取れ、MFAの公式ビザ情報ページが表示され、現在、米国市民はeビザと到着ビザを利用できません。彼らはとにかくアタチュルク空港の入国警官隊がビザを発給するかどうか、またその理由を説明できなかった。