tmuxセッション内のvim内で$ HOMEが設定解除されるのはなぜですか

はい、ありがとう、これは私の問題を解決するようです。これがなぜ役立つのか理解していない。説明できますか？bashプロンプトでecho $ HOMEが示すように、$ HOMEは設定されているようです。

bashを実行すると、HOMEを含むいくつかの環境変数の値が設定されます。bashが新しい環境でコマンドを実行すると、その新しい環境は親シェルの環境の多くを継承しますが、エクスポート用にマークされた変数の定義のみを継承します。あなたの場合、HOMEはエクスポート用にマークされていないため、その定義はvim用に作成された環境に含まれていません。Bashはそれ自体でHOMEを定義するため、値は常にシェルプロンプトで利用できます。