整数モジュラス演算は、ℤ->ℤ/nℤからのリング準同型（Wikipedia）であるため、
(X * Y) mod N = (X mod N) * (Y mod N) mod N
少し簡単な代数でこれを自分で確認できます。（mod右側のファイナルは、モジュラーリングの乗算の定義により表示されることに注意してください。）
コンピューターはこのトリックを使用して、多数の桁を計算することなく、モジュラーリングの指数を計算します。
/ 1 I = 0、
|
（X ^ I）mod N = <（X *（X ^（I-1）mod N））mod NI奇数、
|
\（X ^（I / 2）mod N）^ 2 mod NI even＆I / = 0
アルゴリズム形式では、
-- compute X^I mod N
function expmod(X, I, N)
if I is zero
return 1
elif I is odd
return (expmod(X, I-1, N) * X) mod N
else
Y <- expmod(X, I/2, N)
return (Y*Y) mod N
end if
end function
(855^2753) mod 3233必要に応じて、これを使用して16ビットレジスタのみで計算できます。
ただし、RSAのXおよびNの値は非常に大きく、大きすぎてレジスタに収まりません。モジュラスは通常1024-4096ビット長です！したがって、手動で乗算を行うのと同じように、コンピューターに「長い」方法で乗算を実行させることができます。0-9の数字を使用する代わりに、コンピューターは0-2 16 -1などの「単語」を使用します。（16ビットのみを使用すると、アセンブリ言語に頼らずに2つの16ビット数を乗算し、32ビットの完全な結果を得ることができます。アセンブリ言語では、通常64ビットの完全な結果、または64ビットのコンピューター、完全な128ビットの結果。）
-- Multiply two bigints by each other
function mul(uint16 X[N], uint16 Y[N]):
Z <- new array uint16[N*2]
for I in 1..N
-- C is the "carry"
C <- 0
-- Add Y[1..N] * X[I] to Z
for J in 1..N
T <- X[I] * Y[J] + C + Z[I + J - 1]
Z[I + J - 1] <- T & 0xffff
C <- T >> 16
end
-- Keep adding the "carry"
for J in (I+N)..(N*2)
T <- C + Z[J]
Z[J] <- T & 0xffff
C <- T >> 16
end
end
return Z
end
-- footnote: I wrote this off the top of my head
-- so, who knows what kind of errors it might have
これは、Xの単語数にYの単語数を掛けた時間にほぼ等しい時間でXにYを掛けます。これはO（N 2）時間ます。上記のアルゴリズムを見て、それを分解すると、彼らが学校で教えるのと同じ「長い掛け算」です。10桁まで記憶されたタイムテーブルはありませんが、座ってそれを解決すれば、まだ1,926,348 x 8,192,004を掛けることができます。
長い乗算：
1,234
x 5,678
---------
9,872
86,38
740,4
6,170
---------
7,006,652
実際には、Strassenの高速フーリエ法などの乗算用の高速アルゴリズム（Wikipedia）や、追加と減算を追加するが乗算は少ない単純なメソッドがあり、全体的に高速になります。GMPのような数値ライブラリは、数値の大きさに基づいて異なるアルゴリズムを選択できます。フーリエ変換は最大の数値に対してのみ最速であり、数値が小さいほど単純なアルゴリズムを使用します。
は非常に大きく、64ビット/ 32ビットマシンでは、1つのレジスタにこのような大きな値を保持できるとは思わない。コンピューターはオーバーフローせずにどのようにそれを行いますか？