ChromeまたはFirefoxでJavaアプレットを実行する方法はありますか？
いいえ。アプレットはFirefoxまたはChromeではサポートされなくなりました。
FirefoxはNPAPIサポートを提供しなくなりました（Javaアプレットに必要な技術）
2018年9月の時点で、Firefoxは、Javaアプレットの実行に必要なテクノロジーであるNPAPIをサポートするバージョンを提供しなくなりました。Webブラウザ用のJavaプラグインは、クロスプラットフォームプラグインアーキテクチャNPAPIに依存しています。NPAPIは、10年以上にわたってすべての主要なWebブラウザでサポートされてきました。Firefoxの64ビットバージョンはNPAPIをサポートしていないため、Firefoxバージョン52ESRはこのテクノロジーをサポートする最後のリリースです。セキュリティベースラインを下回っており、サポートされていません。
ソースJavaおよびFirefoxブラウザー
ChromeはNPAPI（Javaアプレットに必要なテクノロジー）をサポートしなくなりました
Webブラウザ用のJavaプラグインは、クロスプラットフォームプラグインアーキテクチャNPAPIに依存しています。NPAPIは、10年以上にわたってすべての主要なWebブラウザでサポートされてきました。GoogleのChromeバージョン45以降ではNPAPIのサポートが廃止されたため、これらのブラウザーではJavaプラグインが機能しなくなりました。
ソースJavaおよびGoogle Chromeブラウザー
それでは、Javaアプレットをどのように実行しますか？
Java SE 11より前のJDKのAppletViewerを使用します。
appletviewerコマンドを使用すると、Webブラウザの外部でアプレットを実行できます。
あらすじ
appletviewer [ options ] urls ...
記述
appletviewerコマンドは、urlsで指定されたドキュメントまたはリソースに接続し、ドキュメントが参照する各アプレットを独自のウィンドウに表示します。注：URLによって参照されるドキュメントがOBJECT、EMBED、またはAPPLETタグを持つアプレットを参照しない場合、appletviewerは何もしません。appletviewerがサポートするHTMLタグの詳細については、AppletViewerタグを参照してください。
注：appletviewerは、開発のみを目的としています。
ソースappletviewer-Javaアプレットビューアー
または、Oracle White Paper（pdf）JavaアプレットからプラグインフリーのJavaテクノロジーへの移行をお読みください。JavaWeb Startが推奨されています。
Java Web Startは2001年以来Oracle JREに含まれており、Java Web Startテクノロジを使用するJavaアプリケーションが初めてダウンロードされるときに自動的に起動されます。アプレットをJava Web Startアプリケーションに変換すると、Webブラウザーに依存することなく、結果のアプリケーションを起動および更新できます。
Java Web Startとは何か、どのように起動されるのかをご覧ください。詳細については。
Java SE 11（2018年9月リリース）では、JavaアプレットとJava Web Startの両方が完全に削除されたことに注意してください。そのバージョンからは、アプレットまたはWeb Startアプリケーションを実行する（サポートされている）方法はありません。