回答:
いずれにせよ、コンピュータにアクセスできる人はだれでも簡単にアカウントに入ることができるため、これらのオプションはどちらも非常に安全ではありません。「Remember me」機能はCookieを使用し、通常は有効期限が切れるため、パスワードは（私が知る限り）どこにも保存されないため、少し安全になると思います。
パスワードが自動入力されるロボフォームやラストパスなどを使用することを好みますが、ブラウジングセッション中に初めてログインするときにマスターパスワードを要求するように設定できます。そうすれば、パスワードを覚える必要はありませんが、他の人はまだパスワードにアクセスできません。
ではブラウザ思い出したパスワードあなたは、少なくとも二つの問題に開放されています：
では「サイト思い出した」パスワードは、サイトによってブラウザに配置されたクッキーを持っています。
これも安全ではありません（パラノイアのレベルによって異なります）。
パスワードの機密性に基づいて、常に妄想を導き出します。
Gmailのパスワード（ちょうど）は、銀行のパスワードよりも安全です。
Passwordsafeはパスワードを安全に記憶するだけでなく、ブラウザにパスワードを入力する機能も備えています。
私は誰もパスワードを覚えていない傾向があります。ただし、主にセキュリティ上の理由ではありませんが、定期的に入力する必要がない場合はパスワードを忘れてしまうことがわかっているためです（そして、どこか他のコンピューターで必要になる場合があります）。
一般的に、前者の方が優れています。
サイトでの「記憶」アプローチは、通常、ブラウザにCookieを残します。
ブラウザの「パスワードを記憶」は、内部データベースに保存します。
あなたが集中的にアプリケーションを使用している場合、私はブラウザのアプローチを使用します。
集中的にアプリケーションを使用せず、追加のセキュリティが必要な場合（バックアカウントなど）どちらも使用せず、常に入力します（また、一般的なパスワードの代わりにハードパスワードを使用するようにしてください）
私はユーザーIDを常に覚えているがパスワードは覚えていないGoogle Chromeが好きです。そうすれば、入力する必要が少なくなります。
加えて、あなたの妻がいつその「友人」サイトにログオンしようとするのかを知っている人;）
より安全なもの、つまりコンピュータまたは接続に依存していると感じます。サイトがあなたを覚えている場合、クッキーが設定され、リクエストごとに送り返されます。パスワードを記憶しているとき（および自分で入力するとき）は、ログイン中にのみ送信されます...
（実際に一時的にHTTPSまたは何らかのハッシュを使用してパスワードを送信するサイトでは、「覚えておいてください」を最初に許可しないでください。）
しかし、多くの人が示唆しているように、違いはわずかです。また、多くのサイトで同じパスワードを使用している場合、おそらく実際のパスワードよりもCookieの方が重要ではありません。
最も安全なオプションは、毎回ログイン詳細を入力することです
キーロガーを実行していない限り。;-)
Firefoxを使用する場合は、ブラウザのマスターパスワードを必ず設定してください。そうすると、すべてのパスワードが暗号化されます。これが簡単に解読可能な暗号化であるかどうかはわかりません。ただし、すべての暗号化は、十分な大きさのレインボーテーブルで解除できます。
どちらも実際に最も安全ではないため、個人的には、便宜上、Webサイトの「Remember Me」機能を使用しています。私はすべての「パスワードマネージャー」と「マスターパスワード」のアドオンが面倒であることに気付きました。誰かが本当にあなたのパスワードを望んでいたなら、彼らはそれを手に入れるでしょう。しかし、それは私にとって決して問題ではなかったので、心配する理由はありません。