K平均法によって引き起こされる可能性のあるクラスタリング

次の質問を私の試験のテスト問題として取得しましたが、答えを理解できません。

最初の2つの主成分に投影されたデータの散布図を以下に示します。データセットにグループ構造が存在するかどうかを調べます。これを行うには、ユークリッド距離測定を使用してk = 2でk平均アルゴリズムを実行しました。k-meansアルゴリズムの結果は、ランダムな初期条件に応じて、実行間で異なる可能性があります。アルゴリズムを数回実行して、いくつかの異なるクラスタリング結果を得ました。

データに対してk-meansアルゴリズムを実行すると、表示されている4つのクラスタリングのうち3つしか取得できません。k-meansで取得できないものはどれですか？（データについて特別なことは何もありません）

正解はDです。誰かが理由を説明できますか？

ピーターフロムの答えにさらに肉を入れるために、k平均クラスタリングはデータ内のkグループを探します。この方法では、各クラスターに特定の位置に重心があると想定しています(x,y)。k平均アルゴリズムは、各ポイントから重心までの距離を最小化します（これは、データに応じてユークリッド距離またはマンハッタン距離になる可能性があります）。

クラスターを特定するために、どのデータポイントがどのクラスターに属しているかの初期推定が行われ、各クラスターの重心が計算されます。次に、距離メトリックが計算され、いくつかのポイントがクラスター間で交換されて、フィットが改善されるかどうかが確認されます。詳細には多くのバリエーションがありますが、基本的にk-meansは、クラスタリングソリューションに極小値があるため、初期条件に依存するブルートフォースソリューションです。

したがって、あなたのケースでは、ケースAの初期条件が広く分離されているように見えx、重心からデータまでの距離が小さいためクラスターが解決され、安定したソリューションになります。逆に、その1つの赤い点は他の多くの点よりも青い点の重心に近いため、Dを取得できません。したがって、赤い点は青いセットの一部になるはずです。

したがって、Dを取得できる唯一の方法は、クラスタリングプロセスが完了する前に中断する（またはクラスタを作成したコードが破損する）場合です。

D内の円で囲まれた点は、PC1次元、PC2次元、またはそれらを組み合わせたユークリッド距離のいずれかの他の点から遠くないためです。

Aでは、PC1で単一点が他の点から遠く離れています

BとCには、簡単に分離できる2つの大きなグループがあります。確かに、BとCは同じクラスタリングです（ドットがない場合を除く）。ラベルが異なるだけです。

Dには単一の点のみが含まれるため、その中心は正確にこの点にあります。

残りのデータについては、この投影では中心が0,0に近い必要があります。

青い点の少なくとも1つは、最初の2つの主成分の青よりも赤の中心にかなり近い。結果は、ボロノイセルによって生成されたようには見えません。

これはあなたの質問に対する直接の回答ではありませんが、先生がどのようにセットアップを提案するか、つまり最初にPCAを適用してからクラスターを探すことは理にかなっています：

データセットがクラスター化された構造を持っている場合、PCAを介して取得される次元削減は、この構造をまったく尊重することが保証されていません。あなたの図では、PC1とPC2は、データの最大の変化を捉える変数（または変数の線形結合）のみを提供します。

言い換えると、最初からデータセットにクラスターが含まれているという仮説を立てる場合、最も重要な特徴は明らかにクラスターを区別するものであり、一般に、データセット全体の大きな変動の方向とは一致しません。

このようなシナリオでより意味のあるのは、最初にクラスター化し（次元削減なし）、次にLDAまたはXCAを実行するか、クラス/クラスターの識別情報を保持する類似のものを実行することです。