定常性の直感的な説明

私はしばらくの間、頭の中で静止状態と格闘していました...これについてあなたはどう思いますか？ご意見やご感想をいただければ幸いです。

定常プロセスは、分布の平均と分散が一定に保たれるように時系列値を生成するプロセスです。厳密に言えば、これは弱い形式の定常性または共分散/平均定常性として知られています。

定常性の弱い形式は、時系列が時間全体にわたって一定の平均と分散を持っている場合です。

簡単に言えば、実務者は定常時系列はトレンドのない時系列であると言います-一定の平均を中心に変動し、一定の分散を持ちます。

異なるラグ間の共分散は一定であり、時系列の絶対位置に依存しません。たとえば、tとt-1（一次遅れ）の間の共分散は常に同じである必要があります（1960年から1970年までの期間、1965年から1975年までの期間、またはその他の期間）。

非定常プロセスでは、系列が元に戻る長期的な意味はありません。したがって、非定常時系列は復帰を意味しないと言います。その場合、分散は時系列の絶対位置に依存し、時間の経過とともに分散は無限になります。技術的に言えば、自己相関は時間とともに減衰しませんが、小さなサンプルではそれらは消えますが、ゆっくりではあります。

定常プロセスでは、衝撃は一時的なものであり、時間とともに消散します（エネルギーを失います）。しばらくすると、それらは新しい時系列値に寄与しません。たとえば、第二次世界大戦のようにログ時間前に発生した（十分に長い）何かが影響を及ぼしましたが、今日の時系列は第二次世界大戦が発生しなかった場合と同じであり、ショックはエネルギーを失ったと言えますまたは散逸した。多くの古典的な計量経済学の理論は定常性の仮定の下で導出されるため、定常性は特に重要です。

定常性の強い形式は、時系列の分布がまったく同じ谷時間である場合です。言い換えれば、元の時系列の分布は、時系列のラグ（任意の数のラグによる）または時系列のサブセグメントとまったく同じです。たとえば、強い形式は、サブセグメント1950〜1960、1960〜1970、または1950〜1960と1950〜1980などの重複期間でも、分布が同じであることを示唆しています。この形式の定常性は、分布を仮定しないため、強いと呼ばれます。それは、確率分布が同じであるべきだと言うだけです。弱い定常性の場合、その平均と分散によって分布を定義しました。暗黙的に正規分布を仮定したため、この単純化を行うことができました。正規分布は、その平均と分散または標準偏差によって完全に定義されます。これは、（時系列内の）シーケンスの確率測度は、同じ時系列内の値の時間差/シフトシーケンスの確率測度と同じであると言うことに他なりません。

まず、定常性は時系列ではなくプロセスの特性であることに注意することが重要です。プロセスによって生成されるすべての時系列の集合を考慮します。このアンサンブルの統計的性質¹（平均、分散など）が時間とともに一定である場合、プロセスは定常と呼ばれます。厳密に言えば、与えられた時系列が定常プロセスによって生成されたかどうかを言うことはできません（ただし、いくつかの仮定を立てると、適切な推測を行うことができます）。

より直感的に、定常性とは、プロセスの際立った時点がないことを意味します（観測の統計特性に影響します）。これが特定のプロセスに適用されるかどうかは、プロセスの固定または可変とみなすもの、つまり、アンサンブルに含まれるものに大きく依存します。

非定常性の一般的な原因は、時間に依存するパラメーターです。これにより、パラメーターの値によって時点を区別できます。別の原因は、固定された初期条件です。

次の例を考慮してください。

• 特定の時間に通過する1台の車から私の家に届く騒音は、定常的なプロセスではありません。たとえば、平均振幅²は、車が私の家のすぐ隣にあるときに最も高くなります。

• 交通量の時間依存性を無視する場合（夜間や週末の交通量が少ないなど）、一般に道路交通から私の家に届く騒音は定常的なプロセスです。もはや顕著なポイントはありません。個々の時系列の強い変動があるかもしれませんが、プロセスのすべての実現のアンサンブルを考えると、これらは消えます。

• 夜間の交通量が少ないなど、交通強度への既知の影響を含めると、プロセスは再び非定常になります。平均振幅²は毎日のリズムによって異なります。すべての時点は、時刻によって区別されます。

• 沸騰したお湯の中の単一の胡pepperの位置は、定常的なプロセスです（蒸発による水の損失を無視します）。明確な時点はありません。

• $t=0$$t=0$$t=ε$$ε$

  したがって、位置の分布は時間とともに変化します。具体例を挙げると、標準偏差が大きくなります。分布は前の例のそれぞれの分布にすぐに収束し、十分に高いでプロセスだけを見ると、非定常性を無視して、あらゆる目的の定常プロセスとして近似できます。初期状態の影響は消えていきました。$t>T$$T$

^{¹実際には、これは平均と分散（弱い定常性）に縮小されることがありますが、この概念を理解するのに役立つとは思いません。定常性を理解するまで、弱い定常性を無視してください。
²これは音量の平均ですが、実際の音声信号の標準偏差です（これについてはあまり心配しないでください）。}

明確にするために、データポイントが一定の平均値で時系列に正規分布し、分散が強い定常時系列とみなされる時系列は、平均と標準偏差が与えられると、正規分布は常に同じ確率分布曲線になることを付け加えます（正規方程式への入力は、平均と標準偏差のみに依存します）。

これは、t分布の場合には当てはまりません。たとえば、t分布方程式への入力がガンマであり、一定の平均および一定の標準偏差にもかかわらず分布曲線の形状に影響を与えます。