ゲルマンとルービンの収束診断、ベクトルで動作するように一般化する方法は？

Gelman and Rubin診断は、並行して実行される複数のmcmcチェーンの収束を確認するために使用されます。チェーン内の分散をチェーン間分散と比較します。説明は以下のとおりです。

ステップ（パラメーターごと）：

1. 過分散した開始値から長さ2nのm≥2チェーンを実行します。
2. 各チェーンの最初のn個のドローを破棄します。
3. チェーン内およびチェーン間分散を計算します。
4. チェーン内およびチェーン間分散の加重和として、パラメーターの推定分散を計算します。
5. 潜在的な縮尺率を計算します。
6. リストアイテム

この統計を使用したいのですが、使用したい変数はランダムなベクトルです。

この場合、共分散行列の平均を取ることは理にかなっていますか？

推奨事項：各スカラーコンポーネントに対してPSRFを個別に計算するだけです

Gelman＆Rubin [1]によるオリジナル記事、およびGelman et al。のBayesian Data Analysis教科書。[2]、関心のあるスカラーパラメータごとに潜在的な縮尺率（PSRF）を計算することをお勧めします。収束を推定するには、すべてのPSRFが1に近いことが必要です。パラメーターがランダムなベクトルとして解釈されることは問題ではなく、その成分はPSRFを計算できるスカラーです。

Brooks＆Gelman [3]はPSRFの多変量拡張を提案しています。これについては、この回答の次のセクションで検討します。ただし、Gelman＆Shirley [4]を引用するには：

[...]これらの方法は、時には過剰である可能性があります。多変量分布のシミュレーションのおおよその収束に非常に長い時間がかかる場合でも、個々のパラメーターを十分に推定できます。

代替：Brooks＆Gelmanによる多変量拡張

$W$$B$

$$\begin{equation} \hat{V} = \frac{n-1}{n}W + \frac{1}{n}B, \end{equation}$$ $n$$\hat{V},W$ $$\begin{equation} \hat{R} = \max_a \frac{a^T\hat{V}a}{a^TWa} = \frac{n-1}{n} + \left(\frac{m+1}{m}\right)\lambda_1, \end{equation}$$ $m$$\lambda_1$$W^{-1}\hat{V}/n$$\lambda_1\rightarrow 0$$n$$\hat{R}$

参照資料

[1]ゲルマン、アンドリュー、ドナルドB.ルービン。「複数のシーケンスを使用した反復シミュレーションからの推論。」統計科学（1992）：457-472。

[2]ゲルマン、アンドリュー、他 ベイジアンデータ分析。CRCプレス、2013年。

[3] Brooks、Stephen P.、およびAndrew Gelman。「反復シミュレーションの収束を監視する一般的な方法。」Journal of Computational and Graphical Statistics 7.4（1998）：434-455。

[4]ゲルマン、アンドリュー、ケネスシャーリー。「シミュレーションおよび監視の収束からの推論」。（ブルックスの第6章、Steve等編、Markov Chain Monte Carloハンドブック、CRC Press、2011年。）

教科書[2]を除くすべての記事は、Andrew GelmanのWebサイトAndrew GelmanのWebサイトで入手できます。