ポアソンプロセスの総期待定理

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2つの独立したポアソンプロセスとがあり、それぞれ到着率がとです。これで、マージされたプロセスの次のアイテムの到着予定時刻はです。 $A$ $B$ $\lambda_A$ $\lambda_B$ $\frac {1}{\lambda_A+\lambda_B}$

が結合されたプロセスの次のアイテムの到着時間であり、またはがプロセスまたはからのアイテムであるイベントであると仮定すると、総期待の法則を使用して、 $T_{A+B}$ $\{X=A\}$ $\{X=B\}$ $A$ $B$

\begin{aligned} E (T_{A + B}) & = E (T_{A + B} ∣ X = A) P [X = A] + E (T_{A + B} ∣ X = B) P [X = B] \\ = {\frac{1}{λ}}_{A} \frac{λ_{A}}{λ_{A} + λ_{B}} + {\frac{1}{λ}}_{B} \frac{λ_{B}}{λ_{A} + λ_{B}} \\ = \frac{2}{λ_{A} + λ_{B}} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(T_{A+B}) &= \mathbb{E}( T_{A+B} \mid X =A )\mathbb{P}[X = A] + \mathbb{E}( T_{A+B}\mid X =B)\mathbb{P}[X = B]\\ &= \frac 1\lambda_A \frac {\lambda_A}{\lambda_A+\lambda_B} + \frac 1\lambda_B\frac {\lambda_B}{\lambda_A+\lambda_B} \\ &= \frac {2}{\lambda_A+\lambda_B} \end{align}$ 何がいけないのですか？ありがとう。

conditional-probability poisson-process

— ユーザー90476
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3

問題は、最初の到着がプロセスからのものであることがわかった場合、条件付き期待値がはないようです。

E [T ∣ X = A]

${\rm E}[T \mid X = A]$

1 / a

$1/a$

A

$A$

— Heropup、2014年

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@heropup回答ありがとうございます。次の到着時間の指数分布を考えると、なぜそれがてはならないかません。

\frac{1}{λ_{A}}

$\frac {1}{\lambda_A}$

— user90476 2014年

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ヘロップは正しいです。問題は、であることがわかったら、サンプル値がからの仮想サンプル値との比較に勝つために十分に小さくなければならないこともわかっているため、は単にレート指数から抽出されないことです。 $X=A$ $X$ $\lambda_A$ $B$

だから、と仮定密度レートの指数の密度の繰り込ま点状生成物である及び速度の指数の右CDF。これにより、レート指数密度が得られます。そう： $X=A$ $\lambda_A$ $\lambda_B$ $\lambda_A + \lambda_B$

\begin{aligned} E (T_{A + B}) & = E (T_{A + B} ∣ X = A) P [X = A] + E (T_{A + B} ∣ X = B) P [X = B] \\ = \frac{1}{λ_{A} + λ_{B}} \frac{λ_{A}}{λ_{A} + λ_{B}} + \frac{1}{λ_{A} + λ_{B}} \frac{λ_{B}}{λ_{A} + λ_{B}} \\ = \frac{1}{λ_{A} + λ_{B}} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(T_{A+B}) &= \mathbb{E}( T_{A+B} \mid X =A )\mathbb{P}[X = A] + \mathbb{E}( T_{A+B}\mid X =B)\mathbb{P}[X = B]\\ &= \frac 1{\lambda_A+\lambda_B} \frac {\lambda_A}{\lambda_A+\lambda_B} + \frac 1{\lambda_A+\lambda_B}\frac {\lambda_B}{\lambda_A+\lambda_B} \\ &= \frac {1}{\lambda_A+\lambda_B} \end{align}$ 必要に応じて。

— ニールG
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\begin{aligned} Pr (T_{A + B} > t ∣ X = A) \\ = & \frac{Pr (T_{A + B} > t & X = A)}{Pr (X = A)} \\ (1) & = & \frac{Pr (t < T_{A} < T_{B})}{Pr (X = A)}, \end{aligned}

$\begin{align} & \Pr( T_{A+B} > t \mid X=A) \\[10pt] = {} & \frac{\Pr(T_{A+B} > t\ \&\ X=A)}{\Pr(X=A)} \\[10pt] = {} & \frac{\Pr(t < T_A < T_B)}{\Pr(X=A)}, \tag 1 \end{align}$

${}$

\begin{aligned} and & Pr (t < T_{A} < T_{B}) \\ = & \int_{t}^{\infty} (\int_{u}^{\infty} e^{- λ_{A} u} e^{- λ_{B} v} (λ_{B} d v)) (λ_{A} d u) \\ = & \int_{t}^{\infty} e^{- λ_{A} u} e^{- λ_{B} u} (λ_{A} d u) = e^{- (λ_{A} + λ_{B}) t} \cdot \frac{λ_{A}}{λ_{A} + λ_{B}} . \end{aligned}

$\begin{align} \text{and } & \Pr(t < T_A < T_B) \\[10pt] = {} & \int_t^\infty \left( \int_u^\infty e^{-\lambda_A u} e^{-\lambda_B v} (\lambda_B\, dv) \right) (\lambda_A \, du) \\[10pt] = {} & \int_t^\infty e^{-\lambda_A u} e^{-\lambda_B u} (\lambda_A\,du) = e^{-(\lambda_A+\lambda_B)t} \cdot \frac{\lambda_A}{\lambda_A + \lambda_B}. \end{align}$

したがって、行はこれはと同じ

(1)

$(1)$

e^{- (λ_{A} + λ_{B}) t},

$e^{-(\lambda_A + \lambda_B)t},$

Pr (T_{A + B} > t) .

$\Pr(T_{A+B} > t).$

したがって、イベントとは実際には独立しています。 $[T_{A+B} >t]$ $[X=A]$

— マイケル・ハーディ
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