ポアソン回帰の残差

Zuur 2013 Beginners Guide to GLM＆GLMMは、ピアソンの残差を近似値に対してプロットすることによりポアソン回帰を検証することを提案しています。Zuurは、添付された（手描きの）プロットのように、近似値が増加しても残差が広がってはならないことを示しています。

しかし、ポアソン分布の重要な特徴は、平均が増加するにつれて分散が増加することだと思いました。それでは、近似値が増加するにつれて、残差の変動が増加することを期待するべきではないでしょうか？

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residuals poisson-regression

— ルチアーノ
ソース

ピアソン残差が何であるかを理解するとすぐに、区別は明確になります。

ポアソンモデルでは、平均が増加するにつれて分散が増加することは正しいです。

その結果、通常の生の残差（）は、フィットされた値（比例ではありません）とともに増加するスプレッドを持つ必要があります。 $r_i=y_i-\hat\mu_i$

ただし、ピアソン残差は、モデル（ポアソンモデルの場合は）に従って分散の平方根で除算された残差です。つまり、モデルが正しい場合、ピアソン残差は一定の広がりを持つはずです。 $r^P_i=\frac{y_i-\hat\mu_i}{\sqrt{\hat\mu_i}}$

単純なシミュレートされたポアソン回帰モデルからの残差プロット。左のプロット：生の残差と近似平均は、平均とともに増加する広がりを示しています。データが離散的であるため、残差に対角の「バンディング」があります。右のプロット：ピアソン残差は、平均の変化として一定の広がりのように見えるものを示し、対角バンドは今や湾曲しています。

— Glen_b-モニカの復活
ソース

実際に期待値の平方根で除算しているときに、分散の平方根で除算していると書いてある理由を明確にしていただけませんか。私は分散がポアソン分布の平均と等しいことを知っていますが、それは特定の分布の定数なので、ここではどの分散について話しているのですか？

— kdarras

応答の条件付き分布は、予測子の組み合わせごとに異なる場合があります。したがって、平均の添え字の使用。は、予測値（そのIVの値）が与えられた場合の観測値母平均（および母分散）です。

μ_{i}

$\mu_i$

i

$i$

— Glen_b-モニカを