ARMAモデルの近似値

ARMA（p、q）モデルの近似値の計算方法を理解しようとしています。ARMAプロセスの適合値に関する質問をすでにここで見つけましたが、それを理解することができませんでした。

ARMA（1,1）モデルがある場合、つまり

$$X_t = \alpha_1X_{t-1}+\epsilon_t - \beta_1 \epsilon_{t-1}$$

パラメータを推定できる（定常）時系列が与えられます。これらの推定値を使用して近似値をどのように計算しますか？AR（1）モデルの場合、近似値は次のようになります。

$$\hat{X_t} = \hat{\alpha_1}X_{t-1} .$$

ARMAモデルの革新は観察できないため、MAパラメータの推定値をどのように使用すればよいですか？MAパーツを無視して、ARパーツの近似値を計算するだけですか？

質問に答えるには、基本的に、モデルで残差、つまりがどのように計算されるかを知る必要があります 。それはです。まず、偽のデータ（）を生成し、モデルを近似します（平均なし）。^ X t = X t − e t X $e_t$arma$\hat{X_{t}}=X_{t}-e_{t}$$X_t$arima(.5,.6)arma

library(forecast)
n=1000
ts_AR <- arima.sim(n = n, list(ar = 0.5,ma=0.6))
f=arima(ts_AR,order=c(1,0,1),include.mean=FALSE)
summary(f)
    Series: ts_AR 
    ARIMA(1,0,1) with zero mean     

    Coefficients:
             ar1     ma1
          0.4879  0.5595
    s.e.  0.0335  0.0317

    sigma^2 estimated as 1.014:  log likelihood=-1426.7
    AIC=2859.4   AICc=2859.42   BIC=2874.12

    Training set error measures:
                         ME    RMSE       MAE      MPE     MAPE      MASE
    Training set 0.02102758 1.00722 0.8057205 40.05802 160.1078 0.6313145

ここで、次のように残差を作成します（1には残差がないため）、：。ここで、とは、上記の近似モデルで推定された自己回帰および移動平均部分です。これがコードです：T = 2 、。。。、N 、E 、T = X T - A R * XのT - 1 - M * E T - 1 A R M $e_1=0$$t=2,...,n$$e_t=X_t-Ar*X_{t-1}-Ma*e_{t-1}$$Ar$$Ma$

e = rep(1,n)
e[1] = 0 ##since there is no residual at 1, e1 = 0
for (t in (2 : n)){
  e[t] = ts_AR[t]-coef(f)[1]*ts_AR[t-1]-coef(f)[2]*e[t-1]
}

残差が見つかったら、値はます。したがって、以下では、Rから取得した最初の10個の近似値と、上で作成したから計算できる値（つまり手動で）を比較しました。^ X t = X t − e t e $e_{t}$$\hat{X_{t}}=X_{t}-e_{t}$$e_{t}$

cbind(fitted.from.package=fitted(f)[1:10],fitted.calculated.manually=ts_AR[1:10]-e[1:10])
      fitted.from.package fitted.calculated.manually
 [1,]          -0.4193068                 -1.1653515
 [2,]          -0.8395447                 -0.5685977
 [3,]          -0.4386956                 -0.6051324
 [4,]           0.3594109                  0.4403898
 [5,]           2.9358336                  2.9013738
 [6,]           1.3489537                  1.3682191
 [7,]           0.5329436                  0.5219576
 [8,]           1.0221220                  1.0283511
 [9,]           0.6083310                  0.6048668
[10,]          -0.5371484                 -0.5352324

ご覧のとおり、近くにありますがまったく同じではありません。その理由は、残差を作成したときにを設定したためです。他の選択肢もあります。たとえば、ヘルプファイルtoに基づくと、カルマンフィルターによって検出された残差とその分散、したがって計算はとは少し異なります。しかし、時間が経つにつれ、それらは収束します。 Ar（1）モデルについて説明します。モデルを（平均なしで）適合させ、係数を使用して適合値を計算する方法を直接示します。今回は残差を計算しませんでした。最初の10個のフィッティングされた値を最初の1個を削除したことを報告したことに注意してください（繰り返しますが、定義方法によって異なります）。ご覧のとおり、これらはまったく同じです。e $e_{1}=0$arima$e_t$

f=arima(ts_AR,order=c(1,0,0),include.mean=FALSE)
cbind(fitted.from.package=fitted(f)[2:10],fitted.calculated.manually=coef(f)*ts_AR[1:9])
      fitted.from.package fitted.calculated.manually
 [1,]          -0.8356307                 -0.8356307
 [2,]          -0.6320580                 -0.6320580
 [3,]           0.0696877                  0.0696877
 [4,]           2.1549019                  2.1549019
 [5,]           2.0480074                  2.0480074
 [6,]           0.8814094                  0.8814094
 [7,]           0.9039184                  0.9039184
 [8,]           0.8079823                  0.8079823
 [9,]          -0.1347165                 -0.1347165