探索的要因分析で並列分析を正しく解釈するにはどうすればよいですか？

一部の科学論文では、方法論に対する私の理解と矛盾する方法で主軸因子分析の並列分析の結果を報告しています。何が欠けていますか？私は間違っていますか、それとも彼らですか。

例：

• データ： 200人の人間のパフォーマンスが10のタスクで観察されました。個人およびタスクごとに、1人にパフォーマンススコアがあります。ここでの問題は、10個のタスクのパフォーマンスの原因となる要因の数を特定することです。
• 方法：主軸因子分析で保持する因子の数を決定する並列分析。
• 報告された結果の例：「並列分析は、2.21以上の固有値を持つ因子のみを保持する必要があることを示唆しています」

それはナンセンスですよね？

Horn（1965）によるオリジナルの論文と、Haytonらのようなチュートリアルから。（2004）並列分析は、ランダムデータに基づくカイザー基準（固有値> 1）の適応であることを理解しています。ただし、適応は、カットオフ1を別の固定数に置き換えるのではなく、各因子の個別のカットオフ値（およびデータセットのサイズ、つまり10スコアの200倍）に依存します。Horn（1965）とHaytonらの例を見てください。（2004）、R関数の出力はfa.parallelに心理パッケージと平行でnFactorsパッケージでは、並列分析により、実際のデータの固有値と比較するために、スクリープロットに下向きの傾斜曲線が生成されます。「固有値が2.21より大きい場合、最初の因子を保持します。さらに、固有値が1.65より大きい場合は2番目を保持します。…」。

「並行分析では、固有値が2.21以上の要素のみを保持する必要があることを示唆している」という適切な設定、考え方、方法論はありますか？

参照：

ヘイトン、JC、アレン、DG、スカルペロ、V。（2004）。探索的因子分析における因子保持の決定：並列分析に関するチュートリアル。組織研究方法、7（2）：191-205。

ホーン、JL（1965）。因子分析における因子数の根拠とテスト。Psychometrika、30（2）：179-185。

並列分析基準を表すには、2つの同等の方法があります。しかし、最初に私は文学に蔓延している誤解に注意する必要があります。

誤解
いわゆるカイザールール（1960年の論文を読んだ場合、カイザーは実際にはルールを好まなかった）1より大きい固有値は主成分分析のために保持されます。いわゆるカイザールールを使用すると、ゼロより大きい固有値が主因子分析/共通因子分析のために保持されます。この混乱は何年にもわたって発生しました。何人かの著者が、「主成分分析」というラベルを使用して、「主成分分析」を同じものではないときに使用することについて、ずさんにしていたためです。

この点について説得力が必要な場合の計算については、主成分分析と因子分析に対するホーンの並列分析の適用をやさしく明確にするを参照してください。

並列分析の保持基準個の変数の
相関行列に基づく主成分分析では、いくつかの数量があります。まず、データの相関行列固有分解から観測された固有値が得られます。次に、自分と同じと「多数」のランダム（無相関）データセットの相関行列の固有分解からの平均固有値、。λ 1、... 、λ P N P ˉ λ R 1、... 、ˉ λ R $p$$\lambda_{1}, \dots, \lambda_{p}$$n$$p$$\bar{\lambda}^{\text{r}}_{1},\dots,\bar{\lambda}^{\text{r}}_{p}$

ホーンは彼の例を「サンプリングバイアス」の観点から組み立て、固有値（主成分分析用）のこのバイアスをとして推定し。このバイアスは、観測された固有値を調整するために使用できます： ε Q = ˉ λ R Q - 1 λ ADJ Q = λ Q - ε $q^{\text{th}}$$\varepsilon_{q} = \bar{\lambda}^{\text{r}}_{q} - 1$$\lambda^{\text{adj}}_{q} = \lambda_{q} - \varepsilon_{q}$

これらの量が与えられると、主成分並列分析の観測固有値の保持基準を、数学的に同等の2つの方法で表すことができます。$q^{\text{th}}$

$\lambda^{\text{adj}}_{q} \left\{\begin{array}{cc} > 1 & \text{Retain.} \\\\ \le 1 & \text{Not retain.} \end{array}\right.$

$\lambda_{q} \left\{\begin{array}{cc} > \bar{\lambda}^{\text{r}}_{q} & \text{Retain.} \\\\ \le \bar{\lambda}^{\text{r}}_{q} & \text{Not retain.} \end{array}\right.$

主要因子分析/共通因子分析についてはどうですか？ここで、バイアスは対応する平均固有値であることを覚えておく必要があります。（対角線が共通性で置き換えられた相関行列の固有分解のカイザールールはゼロより大きい固有値を保持するため、マイナスゼロ）。したがって、ここにます。 λ ADJ Q = λ Q - ˉ λ R $\varepsilon_{q} = \bar{\lambda}^{\text{r}}_{q} - 0 = \bar{\lambda}^{\text{r}}_{q}$$\lambda^{\text{adj}}_{q} = \lambda_{q} - \bar{\lambda}^{\text{r}}_{q}$

したがって、主要因子分析/共通因子分析の保持基準は次のように表す必要があります。

$\lambda^{\text{adj}}_{q} \left\{\begin{array}{cc} > 0 & \text{Retain.} \\\\ \le 0 & \text{Not retain.} \end{array}\right.$

$\lambda_{q} \left\{\begin{array}{cc} > \bar{\lambda}^{\text{r}}_{q} & \text{Retain.} \\\\ \le \bar{\lambda}^{\text{r}}_{q} & \text{Not retain.} \end{array}\right.$

保持基準を表す2番目の形式は、主成分分析と共通因子分析の両方で一貫していることに注意してください（つまり、の定義は、構成要素/因子によって異なりますが保持基準の2番目の形式は、表現されていません。 λ ADJ $\lambda^{\text{adj}}_{q}$$\lambda^{\text{adj}}_{q}$

もう1つ...
主成分分析と主成分分析/共通因子分析はどちらも、相関行列ではなく共分散行列に基づくことができます。これにより、全体および共通分散に関する仮定/定義が変わるため、共分散行列に基づいて分析を行う場合は、保持基準の2番目の形式のみを使用する必要があります。

はい、サンプルサイズが無限に大きい（または十分な大きさでない）場合は、2.21の値を持つ可能性があります。これは、実際には、固有値1ルールの拡張としての並列分析の開発の背後にある動機です。

私はこの答えをヴァッレ1999に引用し、あなたの質問に直接話す部分を斜体にしました。

主成分数の選択：再構成エラー基準の分散と他の方法との比較 †Sergio Valle、Weihua Li、およびS. Joe Qin * Industrial＆Engineering Chemistry Research 1999 38（11）、4389-4401

並列分析。PAメソッドは基本的に2つの行列のPCAモデルを構築します。1つは元のデータ行列で、もう1つは元の行列と同じサイズの無相関データ行列です。このメソッドは、Screeテストのパフォーマンスを向上させるためにHornによって最初に開発されました。各行列の固有値が同じ図にプロットされている場合、交点の上のすべての値はプロセス情報を表し、交点の下の値はノイズと見なされます。この共通部分があるため、並列分析方法は、PCの数の選択において曖昧ではありません。多数のサンプルの場合、無相関変数の相関行列の固有値は1です。この場合、PAメソッドはAEメソッドと同じです。 ただし、サンプルが有限数のサンプルで生成される場合、初期固有値は1を超え、最終固有値は1未満になります。そのため、ホーンは非相関変数の相関行列固有値を、同じサンプルサイズ。

あなたの例は確かにはっきりしていませんが、それもナンセンスではないかもしれません。簡単に言えば、例がその決定規則を、同じ因子番号の実際の因子よりも大きい最初のシミュレートされた因子の固有値に基づいている可能性を検討してください。rの別の例を次に示します。

d8a=data.frame(y=rbinom(99,1,.5),x=c(rnorm(50),rep(0,49)),z=rep(c(1,0),c(50,49)))
require(psych);fa.parallel(d8a)

データはランダムであり、変数は3つしかないため、2番目の要因は確かに意味をなさず、それが並列分析で示されています。^*結果は、@アレクシスが「誤解」に関して言ったことも裏付けています。

次のように言って、私は、この分析の解釈：「パラレル分析は、その唯一の要因を示唆している[ ありませんコンポーネント]固有値が1.2E-6以上の場合は保持する必要があります。」これは、「実際の」固有値よりも大きい最初のシミュレートされた固有値の値であり、その後すべての固有値が必然的に減少するため、ある程度の意味があります。その結果を報告するのは厄介な方法ですが、シミュレーションされた相関のないデータからの対応する固有値よりも大きくない固有値を持つ要因（またはコンポーネント）に非常に懐疑的に見なければならないという推論と少なくとも一致しています。これは、スクリープロットの最初のインスタンスの後に、シミュレーションされた固有値が対応する実際の固有値を超える場合に一貫して当てはまるはずです。上記の例では、シミュレーションされた3番目の因子は、「実際の」3番目の因子よりもわずかに小さくなっています。

^{*この場合、Rは、「並列分析は、因子の数= 1およびコンポーネントの数= 2であることを示唆しています」と言いますが、うまくいけば、私たちのほとんどは、私たちのプロットを解釈するソフトウェアを信頼しないことを知っています...私は間違いなく2番目のコンポーネントが2番目のシミュレートされたコンポーネントよりも無限に大きいという理由だけで、2番目のコンポーネントは保持されません。}