経験的確率密度間の重複を計算する方法は？

2つのサンプル間の類似性の尺度として、Rの2つのカーネル密度推定値間のオーバーラップ領域を計算する方法を探しています。明確にするために、次の例では、紫がかった重複領域の面積を定量化する必要があります。

library(ggplot2)
set.seed(1234)
d <- data.frame(variable=c(rep("a", 50), rep("b", 30)), value=c(rnorm(50), runif(30, 0, 3)))
ggplot(d, aes(value, fill=variable)) + geom_density(alpha=.4, color=NA)

同様の質問がここで議論されました。違いは、事前定義された正規分布ではなく、任意の経験的データに対してこれを行う必要があることです。overlapパッケージアドレスこの質問が、どうやら私だけのために動作しないタイムスタンプデータ、のために。Bray-Curtisインデックス（veganパッケージのvegdist(method="bray")関数に実装されている）も関連しているように見えますが、やはりデータが多少異なります。

理論的なアプローチと、それを実装するために使用する可能性のあるR関数の両方に興味があります。

2つのカーネル密度推定値の重複領域は、任意の精度で近似できます。

$\min(K_1(x),K_2(x))$

2つが異なるグリッド上にあり、同じグリッド上で簡単に再計算できない場合は、補間を使用できます。

2）交点（または複数の点）を見つけ、各間隔がより低い各間隔で2つのKDEの低い方を統合する場合があります。上の図では、交差点の左側にある青い曲線と右側にあるピンクの曲線を統合し、好きな方法で利用可能にします。これは、各カーネルコンポーネントをそのカットオフポイントの左または右に考慮することにより、本質的に正確に行うことができます。$\frac{1}{h}K(\frac{x-x_i}{h})$

ただし、上記のwhuberのコメントは明確に心に留めておく必要があります。これは、必ずしも非常に意味のあることではありません。

完全を期すために、Rでこれを行う方法を次に示します。

# simulate two samples
a <- rnorm(100)
b <- rnorm(100, 2)

# define limits of a common grid, adding a buffer so that tails aren't cut off
lower <- min(c(a, b)) - 1 
upper <- max(c(a, b)) + 1

# generate kernel densities
da <- density(a, from=lower, to=upper)
db <- density(b, from=lower, to=upper)
d <- data.frame(x=da$x, a=da$y, b=db$y)

# calculate intersection densities
d$w <- pmin(d$a, d$b)

# integrate areas under curves
library(sfsmisc)
total <- integrate.xy(d$x, d$a) + integrate.xy(d$x, d$b)
intersection <- integrate.xy(d$x, d$w)

# compute overlap coefficient
overlap <- 2 * intersection / total

前述のように、KDEの生成と統合には、固有の不確実性と主観性が伴います。

まず、間違っているかもしれませんが、カーネル密度推定（KDE）が交差する点が複数ある場合、ソリューションは機能しないと思います。2番目に、overlapタイムスタンプデータで使用するためにパッケージが作成されましたが、それを使用して任意の2つのKDEの重複領域を推定できます。データの範囲を0〜2πに変更するだけです。
例えば ​​：

# simulate two sample    
 a <- rnorm(100)
 b <- rnorm(100, 2)

# To use overplapTrue(){overlap} the scale must be in radian (i.e. 0 to 2pi)
# To keep the *relative* value of a and b the same, combine a and b in the
# same dataframe before rescaling. You'll need to load the ‘scales‘ library.
# But first add a "Source" column to be able to distinguish between a and b
# after they are combined.
 a = data.frame( value = a, Source = "a" )
 b = data.frame( value = b, Source = "b" )
 d = rbind(a, b)
 library(scales) 
 d$value <- rescale( d$value, to = c(0,2*pi) )

# Now you can created the rescaled a and b vectors
 a <- d[d$Source == "a", 1]
 b <- d[d$Source == "b", 1]

# You can then calculate the area of overlap as you did previously.
# It should give almost exactly the same answers.
# Or you can use either the overlapTrue() and overlapEst() function 
# provided with the overlap packages. 
# Note that with these function the KDE are fitted using von Mises kernel.
 library(overlap)
  # Using overlapTrue():
   # define limits of a common grid, adding a buffer so that tails aren't cut off
     lower <- min(d$value)-1 
     upper <- max(d$value)+1
   # generate kernel densities
     da <- density(a, from=lower, to=upper, adjust = 1)
     db <- density(b, from=lower, to=upper, adjust = 1)
   # Compute overlap coefficient
     overlapTrue(da$y,db$y)


  # Using overlapEst():            
    overlapEst(a, b, kmax = 3, adjust=c(0.8, 1, 4), n.grid = 500)

# You can also plot the two KDEs and the region of overlap using overlapPlot()
# but sadly I haven't found a way of changing the x scale so that the scale 
# range correspond to the initial x value and not the rescaled value.
# You can only change the maximum value of the scale using the xscale argument 
# (i.e. it always range from 0 to n, where n is set with xscale = n).
# So if some of your data take negative value, you're probably better off with
# a different plotting method. You can change the x label with the xlab
# argument.  
  overlapPlot(a, b, xscale = 10, xlab= "x metrics", rug=T)