確率変数の関数の確率分布？

疑問があります：確率空間定義された実数値確率変数と考えてみてください。 $X$ $Z$ $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$

ましょう、実数値関数です。以来確率変数の関数であり、それは確率変数です。 $Y:= g(X,Z)$ $g(\cdot)$ $Y$

してみましょうすなわちの実現。 $x:=X(\omega)$ $X$

ある等しい？ $\mathbb{P}(Y|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)|X=x)$ $\mathbb{P}(g(x,Z))$

probability random-variable

— user3285148
ソース

表記はかなり省略されているため、普遍的な量指定子の対象となるボレルセットを暗黙的に参照していること、および質問のより完全なレンダリングが

A

$A$

\forall_{A} P (Y \in A | X = x) = P (g (X, Z) \in A | X = x) = P (g (x, Z) \in A) .

$\forall_A\ \mathbb{P}(Y\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(x,Z)\in A).$

— whuber

@whuber：最後の等式は、とが独立している場合にのみ有効です。

X

$X$

Z

$Z$

— Zen

さて、あなたは「それが事実であるかどうか...」を考えているだけです。

— Zen

場合測定され、次いで、当てはまる -AA。特に、がから独立している場合、当てはまる -AA。 $g$

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A\mid X=x),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

P_{X}

$P_X$

x

$x$

Z

$Z$

X

$X$

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

P_{X}

$P_X$

x

$x$

これは、次の一般的な結果に依存しています。

場合及びランダム変数であり、の定期的な条件付き確率意味与えられた、すなわち、次に $U,T$ $S$ $P_S(\cdot \mid T=t)$ $S$ $T=t$ $P_S(A \mid T=t)=P(S\in A\mid T=t)$
$\begin{matrix} (*) & E [U ∣ T = t] = \int_{R} E [U ∣ T = t, S = s] P_{S} (d s ∣ T = t) . \end{matrix}$ ${\rm E}[U\mid T=t]=\int_\mathbb{R} {\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).\tag{*}$

証明：正規の条件付き確率の定義により、、測定可能で積分可能なです。次に、あるセットのボレルセットについてします。次に、 with 以来

E [ψ (S, T)] = \int_{R} \int_{R} ψ (s, t) P_{S} (d s ∣ T = t) P_{T} (d t)

${\rm E}[\psi(S,T)]=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} \psi(s,t)\,P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)$

ψ

$\psi$

ψ (s, t) = 1_{B} (t) E [U ∣ S = s, T = t]

$\psi(s,t)=\mathbf{1}_B(t){\rm E}[U\mid S=s,T=t]$

B

$B$

\begin{aligned} \int_{T^{- 1} (B)} U d P & = E [1_{B} (T) U] = E [1_{B} (T) E [U ∣ S, T]] = E [ψ (S, T)] \\ = \int_{R} \int_{R} ψ (s, t) P_{S} (d s ∣ T = t) P_{T} (d t) \\ = \int_{B} φ (t) P_{T} (d t) \end{aligned}

$\begin{align} \int_{T^{-1}(B)} U\,\mathrm dP&={\rm E}[\mathbf{1}_B(T)U]={\rm E}[\mathbf{1}_B(T){\rm E}[U\mid S,T]]={\rm E}[\psi(S,T)]\\ &=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\psi(s,t)\, P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)\\ &=\int_B\varphi(t)P_T(\mathrm dt) \end{align}$

φ (t) = \int_{R} E [U ∣ T = t, S = s] P_{S} (d s ∣ T = t) .

$\varphi(t)=\int_\mathbb{R}{\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).$

B

$B$ と結論付けました。

φ (t) = E [U ∣ T = t]

$\varphi(t)={\rm E}[U\mid T=t]$

次に、とし、をとともに使用します。ここで、及び、。次に、条件付き期待値の定義によって、従ってにより我々は $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ $(*)$ $U=\psi(X,Z)$ $\psi(x,z)=\mathbf{1}_{g^{-1}(A)}(x,z)$ $S=Z$ $T=X$

E [U ∣ X = x, Z = z] = E [ψ (X, Y) ∣ X = x, Z = z] = ψ (x, z)

${\rm E}[U\mid X=x,Z=z]={\rm E}[\psi(X,Y)\mid X=x,Z=z]=\psi(x,z)$

(*)

$(*)$

\begin{aligned} P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) & = E [U ∣ X = x] = \int_{R} ψ (x, z) P_{Z} (d z ∣ X = x) \\ = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x) . \end{aligned}

$\begin{align} P(g(X,Z)\in A\mid X=x)&={\rm E}[U\mid X=x]=\int_\mathbb{R} \psi(x,z)\,P_Z(\mathrm dz\mid X=x)\\ &=P(g(x,Z)\in A\mid X=x). \end{align}$

— ステファン・ハンセン
ソース