反復測定ANOVAが球形性を仮定するのはなぜですか？

球形性とは、グループ間のすべてのペアごとの差異の分散が同じであるという仮定を意味します。

特に、これがなぜ仮定である必要があるのか、また観察されたグループスコアの分散自体が同じであるのではないのか、私にはわかりません。

— user1205901-モニカの復活
ソース

私がここでコメントしたように、RMレベル間の差異変数はその起源によって結び付けられているため、球形性はそれらが同じ分散を持つことを意味します。

— ttnphns 2014年

回答する前に、独立測定ANOVAに分散の均一性の仮定がある理由を理解しているかどうかを知っておくと役立ちます。

— ジョン

@John私の理解は、これがstats.stackexchange.com/questions/81914/で与えられた答えです...この質問に正しく答えます。

— user1205901-モニカを2014年

@ttnphns残念ながら、あなたの答えはよくわかりません。あなたまたは他のポスターはそれをより詳細な応答にスピンアウトすることに興味がありますか？

— user1205901-14年

回答:

球形性の仮定の背後にある直観

一般的な非反復測定の仮定の1つであるANOVAは、すべてのグループで平等分散です。

（線形分散のOLS推定量が青であり、対応するt検定が有効であるためには、等分散性とも呼ばれる等分散が必要であるため、これを理解できます。ガウスマルコフの定理を参照してください。そしてANOVAは線形として実装できます。回帰。）

$n$ $k$

$k-1$ $k-1$

$k-1$ $k$ $k-1$ $k(k-1)/2$

これは正確に球形度の仮定です。

なぜグループ分散はそれ自体で等しくないのですか？

y_{i j} = μ + α_{i} + β_{j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}=\mu+\alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij},$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{j}

$\beta_j$

ϵ \sim N (0, σ^{2})

$\epsilon\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$

$\mathcal N(\beta_{j_1} - \beta_{j_2}, 2\sigma^2)$ $2\sigma^2$ $n$ $\alpha_i$ $\sigma^2$ $V(\vec \alpha, \sigma^2)$

したがって、このモデルでは、実際、グループ分散も同じです。グループの共分散も同じです。つまり、このモデルは複合対称性を意味します。これは、球形と比較してより厳しい条件です。上記の直観的な議論が示すように、RM-ANOVAは、上記の加法モデルが成り立たない場合、より一般的な状況で正常に機能します。

正確な数学的ステートメント

$F$

球形性が壊れるとどうなりますか？

球形性が保持されない場合、RM-ANOVAは、（i）膨張したサイズ（より多くのタイプIエラー）、（ii）パワーが減少した（より多くのタイプIIエラー）と予想できます。これをシミュレーションで探索することはできますが、ここでは行いません。

— アメーバはモニカを復活させると言う
ソース

球形性の違反の影響は、電力の損失（つまり、タイプIIエラーの確率の増加）と、F分布の表形式の値と単純に比較できない検定統計量（F-ratio）であることがわかります。F検定が自由になりすぎます（つまり、帰無仮説が真の場合、帰無仮説の棄却の割合がアルファレベルより大きくなります。

この主題の正確な調査は非常に複雑ですが、幸運なことに、Box et alはそれについて論文を書きました：https : //projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177728786

$\upsilon_{1}=A-1$ $\upsilon_{2}=(A-1)(S-1)$

$\upsilon_{1}$ $\epsilon$

υ_{1} = ϵ (A - 1)

$\upsilon_{1} = \epsilon(A-1)$

υ_{2} = ϵ (A - 1) (S - 1)

$\upsilon_{2} = \epsilon(A-1)(S-1)$

$\xi_{a,a}$

ϵ = \frac{{(\sum_{a}^{} ξ_{a, a})}^{2}}{(A - 1) \sum_{a, a^{'}}^{} ξ_{a, a^{'}}^{2}}

$\epsilon = \frac{\left ( \sum_{a}^{ }\xi_{a,a} \right )^{2}}{\left ( A-1 \right )\sum_{a,a'}^{ }\xi_{a,a'}^{2}}$

球形度のボックスインデックスは、共分散行列の固有値との関連で最もよく理解されます。共分散行列は正の半定値行列のクラスに属しているため、常に正のnull固有値を持っていることを思い出してください。したがって、球形性の条件は、すべての固有値が定数に等しいことと同等です。

したがって、球形性に違反する場合は、F統計にいくつかの修正を適用する必要があります。この修正の最も注目すべき例は、Greenhouse-GeisserとHuynh-Feldtです。たとえば、

修正を行わないと、結果が偏り、信頼性が低くなります。お役に立てれば！

— 広大な学者
ソース

+1。後でもっとコメントしますが、今のところ、最初の段落ではテストの能力とサイズを組み合わせています。球形性に違反すると、何が損なわれますか？ヌルの下でのタイプIエラー率？または力？または両方？あなたはおそらく両方を意味しますが、定式化はあまり明確ではありません（私は思います）。また、「Box et al」ではなく、Boxのみです:)

— amoebaは、Reinstate Monica

Boxが示したように、球形性が侵害された場合、完全に異なる統計量（別の自由度）に依存する必要があるため、パワーはほとんど損なわれると思います。これに依存しない場合、違反の強さによっては、帰無仮説の拒否の割合が大きくなります。

— Vastアカデミー担当者、

申し訳ありませんが、まだ混乱していますが、今あなたのコメント：「nullの拒否の割合が大きい」-nullが実際にtrueであるという意味ですか？しかし、これはパワーとは関係ありません。これはタイプIのエラー率です。

— アメーバはモニカを元に戻す

+10。私はこの回答に賞金を授与します。それは良いことであり、賞金期間中に現れた唯一の回答でもあります。私はあなたの答えに完全に満足していません（まだですか？）と私は自分の答え（現在は不完全ですが、既に投稿されています）を書き始めましたが、基礎となる数学については部分的にしか理解できません。あなたの答えは間違いなく役に立ち、ボックス1954への参照も非常に役に立ちます。

— アメーバは、モニカ

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ξ

$\xi$

A \times A

$A\times A$

$y_{ijk}$ $i=1, ..., I; j = 1, ..., J; k = 1, ..., K.$

i番目のグループの標本平均は、

{\bar{y}}_{i . .} = \frac{1}{J K} \sum_{j = 1}^{J} \sum_{k = 1}^{K} y_{i j k}

$\bar{y}_{i..} = \frac{1}{JK}\sum_{j=1}^{J}\sum_{k=1}^{K}{y_{ijk}}$

そして、ij番目の主題のそれは

{\bar{y}}_{i j .} = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} y_{i j k}

$\bar{y}_{ij.} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}{y_{ijk}}$

被験者間の独立性を仮定することにより、2つのグループ平均の差の分散は

V a r ({\bar{y}}_{i . .} - {\bar{y}}_{i^{'} . .}) = \frac{1}{J^{2}} \sum_{j = 1}^{J} V a r ({\bar{y}}_{i j .}) + \frac{1}{J^{2}} \sum_{j^{'} = 1}^{J} V a r ({\bar{y}}_{i^{'} j^{'} .})

$Var(\bar{y}_{i..} - \bar{y}_{i'..}) = \frac{1}{J^2}\sum_{j=1}^JVar(\bar{y}_{ij.}) + \frac{1}{J^2}\sum_{j'=1}^JVar(\bar{y}_{i'j'.})$

$Var(\bar{y}_{ij.})$ $\sigma^{2}/K$ $\sigma^{2}$ $Var(\bar{y}_{ij.})$

さて、提起された球形性の質問に。

$\bar{y}_{..k} - \bar{y}_{..k'}$

{\bar{y}}_{. . k} = \frac{1}{I J} \sum_{i = 1}^{I} \sum_{j = 1}^{J} y_{i j k} .

$\bar{y}_{..k} = \frac{1}{IJ}\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}{y_{ijk}}.$

y_{i j k}

$y_{ijk}$

y_{i j k^{'}}

$y_{ijk'}$

V a r ({\bar{y}}_{. . k} - {\bar{y}}_{. . k^{'}}) = \frac{1}{(I J)^{2}} \sum_{i = 1}^{I} \sum_{j = 1}^{J} V a r (y_{i j k} - y_{i j k^{'}})

$Var(\bar{y}_{..k} - \bar{y}_{..k'}) = \frac{1}{(IJ)^2}\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^JVar(y_{ijk} - y_{ijk'})$

したがって、すべてのペアごとの差異の一定の分散を仮定すると、共通分散が推定された時点でt検定を実行することが有効になります。この仮定は、一緒になって、各観察の一定の分散と、測定値の任意の対の間の共分散は、すべてのペアにわたって一定であることを意味- セルジオこのトピックに関する素晴らしい投稿があります。したがって、これらの仮定は、各被験者の繰り返し測定の分散共分散構造を、対角線上に定数、非対角線上に別の定数を持つ行列としてレンダリングします。対角線以外のエントリがすべてゼロの場合、それは完全に独立したモデルに減少します（これは、多くの反復測定研究には不適切である可能性があります）。対角線外のエントリが対角線のエントリと同じである場合、繰り返される測定は被験者に対して完全に相関しています。つまり、単一の測定は、各被験者のすべての測定と同じくらい良好です。最後の注意-単純な分割プロット設計でK = 2の場合、球形度の条件は自動的に満たされます。

— Tリン
ソース