「.632ルール」で確率が等しくない場合はどうなりますか？

この質問は、「。632ルール」に関するこの質問に由来しています。問題を簡単にするために、user603の回答/表記を特に参照して書いています。

その答えは、大きさのサンプルから始まる交換と、からコレクション内の異なる項目（呼び出し）はN.確率サンプルは、特定の要素の異なる Nのは、次に $n,$ $n$ $i^{th}$ $s_i$ $m$ $(1 - 1/n).$

その答えでは、Nのすべての要素がランダムに描かれる可能性が等しくなります。

私の質問はこれです。代わりに、上記の質問で、描かれるアイテムが通常配布されるようなものであるとします。つまり、標準正規曲線をからまで（たとえば）100の等しい長さの部分区間に分割します。Nの100個のアイテムはそれぞれ、描画される確率があり、それぞれの間隔で曲線が範囲となる領域に等しい。 $Z = -4$ $Z = 4$

私の考えは次のとおりです。

推論はリンクされた回答のそれと同じだと思います。がNの要素であるである確率はであり、ここではを描画する確率です $s_i \ne m$ $m$ $P(s_i \neq m) = (1 - F_i)$ $F_i$ $s_i.$

特定の要素mがサイズnのサンプルSにある確率は

P (m \in S) = 1 - P (m \notin S) = 1 - \prod_{1}^{n} P (s_{i} \neq m)

$P(m \in S) = 1 - P(m \notin S) = 1 - \prod_1^n P(s_i \neq m)$

= 1 - \prod_{1}^{n} (1 - F_{i}) .

$= 1 - \prod_1^n(1 - F_i).$

計算は、部分区間の長さが短くなると、答えが最初のケースと同じ数に収束することを示しているようです（確率はすべて等しい）。 $s_i$

これは直感に反しているように思えます（私にとっては）構造はまれなNの要素をスローするように見えるので、.632より小さい数を期待します。

また、これが正しい場合は、

lim_{n \to \infty} \prod_{1}^{n} (1 - F_{i}) = lim (1 - 1 / n)^{n} = 1 / e,

$\lim_{n \to \infty} \prod_1^n(1 - F_i) =\lim (1- 1/n)^n = 1/e,$

それが真実かどうかはまだわかりません。

編集：それが本当なら、おそらくいくつかを一般化するでしょう。

洞察をありがとう。

probability sampling

— ダニエル
ソース

Mathematics SEの最後の方程式（質問791114）について尋ねたところ、それが一般化されているとすれば、それがどのように一般化されるのかにも興味があります。

— ダニエル2014年

...そして短い答えは、最後の等式は正常に動作するPDFに対して正しいということです。そのため、この質問に対する答えは、.632ルールがさまざまな基礎となるディストリビューションに当てはまるということです。

— ダニエル2014年

別のサイトから他の人の答えを取り上げて、ここに私のサイトとして投稿できますか？だから私は簡単なコメントを投稿しました。多分これを行うには受け入れられた方法があります。

— ダニエル

もちろん、できます。ある時点でソースに言及するだけです:)

— Firebug

@Firebug：これが行われたインスタンスをポイントして、私があなたの意味を理解できるようにすることはできますか？ありがとう。

— ダニエル2016

質問はの制限行動について尋ねます

\begin{matrix} (1) & = 1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i}) \end{matrix}

$= 1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\tag{1}$

$n$ $F_i$ $F_i$

定義により、この積はその対数の指数です。

\prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i}) = \exp (\sum_{i = 1}^{n} \log (1 - F_{i})) .

$\prod_{i=1}^n(1 - F_i) = \exp\left(\sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right)\right).$

$\log$

\log (1 - F_{i}) = - F_{i} - \frac{1}{2} ϕ_{i}^{2} \geq - F_{i} - \frac{1}{2} F_{i}^{2}

$\log\left(1-F_i\right) = -F_i - \frac{1}{2}\phi_i^2 \ge -F_i - \frac{1}{2}F_i^2$

$\phi_i$ $[0, F_i]$ $-F_i$ $1/2$ $F_i^2$ $n$ $F_i$ $\epsilon\gt 0$ $F_i$ $n\epsilon \gt \sum F_i = 1$

\sum_{i = 1}^{n} F_{i}^{2} \leq \sum_{i = 1}^{n} ϵ^{2} < \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{1}{n})}^{2} = \frac{1}{n} .

$\sum_{i=1}^n F_i^2 \le \sum_{i=1}^n \epsilon^2 \lt \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)^2 =\frac{1}{n}.$

したがって

- 1 = - \sum_{i = 1}^{n} F_{i} \geq \sum_{i = 1}^{n} \log (1 - F_{i}) \geq - \sum_{i = 1}^{n} F_{i} - \frac{1}{2} \frac{1}{n} = - 1 - \frac{1}{2 n}

$-1 = -\sum_{i=1}^n F_i \ge \sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right) \ge -\sum_{i=1}^n F_i - \frac{1}{2}\frac{1}{n} = -1 - \frac{1}{2n}$

$-1$ $\exp$ $\prod_{i=1}^n(1 - F_i)$ $\exp(-1)$

lim_{n \to \infty} (1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i})) = 1 - \exp (- 1) \approx 0.632,

$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\right) = 1 - \exp(-1) \approx 0.632,$

QED。

(\exp ((n / 2) max (F_{i}^{2})) - 1) \exp (- 1) .

$\left(\exp\left((n/2)\max(F_i^2)\right) - 1\right)\exp(-1).$

n = 400

$n=400$

- 4

$-4$

4

$4$

F_{i}

$F_i$

0

$0$

\exp (- 1 / 2) / 50 \approx 0.012

$\exp(-1/2)/50 \approx 0.012$

(1)

$(1)$

0.011

$0.011$

0.001041

$0.001041$ R

f_{i}

$f_i$

1

$1$

f <- diff(pnorm(seq(-4, 4, length.out=401))) # The normal "slices".
f <- f / sum(f)                              # Make them sum to unity.
exp(-1) - prod(1 - f)                        # Compute the error.

1 - prod(1-f) $0.6331615\ldots$ $1-\exp(-1)$ $0.6321206\ldots$

— whuber
ソース

エラー分析は、この回答の非常に役立つ側面です。

— ダニエル2016