正規性をテストするとき、残差の相関が重要ではないのはなぜですか？

とき（すなわち、Yは、線形回帰モデルから来ている）、 ε 〜N（0 、σ 2 I $Y = AX + \varepsilon$$Y$ その場合には、残差 eは 1、... 、E N相関と独立していません。我々は回帰診断を行うと仮定テストしたいときには ε 〜N（0 、σ 2 I ）、すべての教科書には、Q-Qプロットと残差の統計的検定を使用することが提案されている電子かどうかをテストするために設計された電子〜N（0 、σ 2 I ）のためのいくつかの σ 2 ∈ R。

$$\varepsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I) \hspace{1em} \Rightarrow \hspace{1em} \hat{e} = (I - H) Y \sim \mathcal{N}(0, (I - H) \sigma^2_{})$$ $\hat{e}_1, \ldots, \hat{e}_n$$\varepsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I)$$\hat{e}$$\hat{e} \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I)$$\sigma^2 \in \mathbb{R}$

これらの検定では、残差が相関していて独立していないことがどうして重要ではないのですか？多くの場合、標準化残差を使用することが提案されてい しかしそれはそれらをホモスキャドスティックにするだけで、独立ではありません。

$$\hat{e}_i' = \frac{\hat{e}_i}{\sqrt{1 - h_{ii}}},$$

質問を言い換えると、 OLS回帰の残差は相関しています。実際には、これらの相関は非常に小さいので（ほとんどの場合？常に？）、残差が正規分布に由来するかどうかをテストする場合は無視できます。私の質問は、なぜですか？

$H$$X$$M:=I_{n}-H$

$X\in\mathbb{R}^{n\times k}$$\hat{e}\in\mathbb{R}^{n}$

$\varepsilon$$X$$\varepsilon\perp\operatorname{span}\left(X\right)$$y=X\beta+\varepsilon=\tilde{y}+\varepsilon$$\tilde{y}\perp\varepsilon$$\tilde{y}=X\beta\in\operatorname{span}\left(X\right)$$y$$\varepsilon$

$b_{1},\ldots,b_{n}$$\mathbb{R}^{n}$$b_{1},\ldots,b_{k}$$\operatorname{span}\left(X\right)$$b_{k+1},\ldots,b_{n}$$\operatorname{span}\left(X\right)^{\perp}$$\varepsilon=\alpha_{1}b_{1}+\ldots+\alpha_{n}b_{n}$$\alpha_{i}$$i\in\left\{1,\ldots,k\right\}$$X\beta$$\operatorname{span}\left(X\right)$

$\varepsilon$$\hat{e}$$n$$\hat{e}\in\mathbb{R}^{n}\mapsto e^{*}\in\mathbb{R}^{n-k}$

$$\begin{equation} e^{*}\sim\mathcal{N}_{n-k}\left(0,\sigma^{2}I_{n-k}\right) \textrm{,} \end{equation}$$ $e^{*}$$e^{*}$

正規性の回帰外乱のテストに関する短い論文では、OLSとBLUSの残差の比較を説明しています。テストされたモンテカルロ設定では、OLS残差はBLUS残差よりも優れています。しかし、これはあなたにいくつかの出発点を与えるはずです。