歪度と尖度を含む分布関数の閉形式式？

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そのような式はありますか？平均、分散、歪度、尖度がわかっている、または測定できるデータのセットがある場合、前述のデータから得られると想定される値の確率密度を計算するために使用できる単一の式はありますか？

正規（ガウス）分布では、歪度は対称であるため

であり、過剰な尖度も正規分布の特性から

です。他の分布の場合、平均、分散、歪度、尖度は分布を定義するのに十分ではありませんが、通常は例が見つかります。

0

$0$

0

$0$

— ヘンリー

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@Henry実際、ほとんどの

との分布のファミリー-parameter

、最初の4つのモーメント-平均、分散、歪度、尖度から回収することができる-通常分布を識別するのに十分です。

k

$k$

k \leq 4

$k \le 4$

— whuber

@whuber：それは少し循環的であると私には読みます：分布を4つ以下のパラメーターがあるファミリーに制限し、分布の4つの統計がパラメーターを特定することを知っています。同意する。しかし、私のポイントの1つは、基本的に、全体として同じ最初の4つのモーメントであっても、特定のポイントで大幅に異なる確率密度を持つ分布のさまざまな可能性があることです。

— ヘンリー

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ヘンリー：「その他の分布」とは、広く一般的な意味を意味しますが、私の回答は、統計で一般的に使用される分布という意味（4つ以上のパラメーターを持つことはほとんどありません）でした。あなたのコディシィル-「例は通常見つけることができます」-私のより狭い解釈を示唆したかもしれません。

— whuber

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そのような式は数多くあります。この問題を正確に解決する最初の成功した試みは、1895年にカールピアソンによって行われ、最終的にピアソン分布のシステムにつながりました。このファミリは、平均、分散、歪度、尖度によってパラメータ化できます。おなじみの特殊なケースとして、正規分布、スチューデントt分布、カイ2乗分布、逆ガンマ分布、F分布が含まれます。 Kendall＆Stuart Vol 1は詳細と例を示します。

— ウーバー
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これは、データに分布を適合させる「モーメントマッチング」アプローチのように聞こえます。これは一般的に素晴らしいアイデアとは見なされていません（John Cookのブログ投稿のタイトルは「統計的な行き止まり」です）。

— みすぼらしい
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D'AgostinoのK2テストでは、サンプルの歪度と尖度に基づいて、サンプルの分布が正規分布に由来するかどうかがわかります。

非正規分布（おそらく歪度または尖度が高い）を想定してテストを実行する場合は、分布が何であるかを把握する必要があります。スキュー正規分布と一般化正規分布を見ることができます。これを行う場合、他のディストリビューションも考慮します。

— トーマス・レヴァイン
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