「ランダム変数の合計」の概念を誰でも明確にできますか

私の確率クラスでは、「ランダム変数の合計」という用語が常に使用されています。しかし、私はそれが正確に何を意味しているのでしょうか？

ランダム変数からの多くの実現の合計について話していますか？もしそうなら、それは単一の数字になりませんか？ランダム変数実現の合計はどのようにして分布、またはあらゆる種類のcdf / pdf /関数につながるのでしょうか？そして、ランダム変数の実現ではない場合、正確に何が追加されていますか？

ランダム変数の物理的で直感的なモデルは、人口のすべてのメンバーの名前を1枚または複数枚の紙片（「チケット」）に書き留め、それらのチケットをボックスに入れることです。箱の中身を徹底的に混ぜ合わせて、宝くじのように1枚のチケットを盲目的に引き出し、ランダム性をモデル化するプロセス。不均一な確率は、ボックスに可変数のチケットを導入することでモデル化されます。より多くの可能性のあるメンバーにはより多くのチケットを、より可能性の低いメンバーにはより少ないチケットを。

確率変数は、集団の各メンバーに関連付けられた番号です。（したがって、一貫性を保つために、特定のメンバーのすべてのチケットに同じ番号を書き込む必要があります。）複数の乱数変数は、チケットのスペースを複数の番号に予約することでモデル化されます。通常、これらのスペースには次のような名前を付けますY 、および Zを。合計これらの確率変数のはいつもの合計です：和のためのすべてのチケットに新しいスペースを確保する値読み取る X 、Y 、などを各チケットに、その新しい空間でそれらの和を書きます。これは、チケットに数字を書き込む一貫した方法であるため、別のランダム変数です。$X,$ $Y,$$Z$$X,$ $Y,$

この図は、母集団と3つのランダム変数X、Y、X + Yを表すボックスを表しています。6つのチケットが含まれます：αの3つ$\Omega=\{\alpha,\beta,\gamma\}$$X$$Y$$X+Y$$\alpha$、それに確率与える（青）のための2つの、βそれに確率与える（黄色）2 / 6、及びための1つのγ（緑色）がそれに確率を与えます1 /$3/6$$\beta$$2/6$$\gamma$$1/6$。チケットに書かれている内容を表示するために、それらは混合される前に表示されます。

このアプローチの利点は、質問のすべての逆説的な部分が正しいことが判明したことです。

• ランダム変数の合計は、確かに（母集団の各メンバーに対して）単一の明確な数です。

• しかし、それはまた、分布につながります（合計がボックスに表示される頻度によって与えられます）。

• ランダムなプロセスを効果的にモデリングします（チケットは箱から盲目的に引き出されるためです）。

この方法では、合計は同時に確定値を持つことができます（各チケットの番号に適用される加算の規則によって与えられます）が、実現（ボックスから引き出されるチケット）は、値を持たなくなります実行されます。

箱からチケットを引くこの物理モデルは、理論文献で採用されており、サンプル空間（母集団）、シグマ代数（関連する確率測度）、およびサンプル空間で定義された測定可能な関数としてのランダム変数の定義に厳密になっています。

このランダム変数の説明は、「ランダム変数とはどういう意味ですか？」で、現実的な例を用いて詳しく説明されています。。

このフレーズの背後に秘密はありません。考えられる限り簡単です。XとYが2つのランダム変数である場合、それらの合計はX + Yであり、この合計もランダム変数です。X_1、X_2、X_3、...、X_nがn個のランダム変数である場合、それらの合計はX_1 + X_2 + X_3 + ... + X_nであり、この合計もランダム変数です（この合計の実現は単一です数、すなわちn個の実現の合計）。

クラス内のランダム変数の合計についてなぜそんなに話すのですか？1つの理由は（驚くべき）中央極限定理です：多くの独立したランダム変数を合計すると、合計の単一変数の分布とは無関係に、この合計の分布を（ほぼ）予測できます！合計は正規分布になる傾向があり、これが現実世界で頻繁に正規分布を観測する理由です。

rvは、イベントの発生と実数との関係です。雨が降っている場合、値Xが1である場合、値が1になります。寒いときは10、暑いときは100に等しい別のrv Yを持つことができます。したがって、雨が降って寒い場合は、X = 1、Y = 10、X + Y = 11になります。

X + Yの値は10（冷たい雨は降っていません）; 11（雨、寒い）、100（雨が降っていない、暑い）、110（雨、暑い）。イベントの確率を把握すると、この新しいrv X + YのPMFが得られます。

$X,Y$$X+Y$$\Omega_1\times \Omega_2$$X,Y$$\Omega=\{Head,Tail\}$$X(Head)=Y(Head)=1, X(Tail)=Y(Tail)=0$$(X+Y)$$X,Y$ are functions on this product space where their value is determined solely by the 1st and 2nd coordinate respectively. The sum now can be understood as summation of functions as the usual sense. Note also that the $\sigma-$field and probability measure should also be defined anew. Saying $X,Y$ are independent is one way to specify the product measure.