主成分分析を使用してデータを白くするには？

データを変換したい$\mathbf X$分散が1で共分散がゼロになるようにます（つまり、データを白色化します）。さらに、平均はゼロでなければなりません。

私はZ標準化とPCA変換を行うことでそこに到達することを知っていますが、どの順序でそれらを行うべきですか？

合成されたホワイトニング変換の形式はなければなりません。$\mathbf{x} \mapsto W\mathbf{x} + \mathbf{b}$

これらの変換を正確に行い、上記の形式の式を提供するPCAに似た方法はありますか？

最初に、平均減算することにより、平均ゼロを取得します。$\boldsymbol \mu = \frac{1}{N}\sum \mathbf{x}$

次に、PCAを実行して共分散をゼロにします。場合データの共分散行列であり、その後、PCAは、固有値分解行うになる、あるのおよびの固有ベクトルで構成される直交回転行列は、対角に固有値を持つ対角行列です。行列Σ = U Λ U ⊤ U Σ Λ U$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Sigma = \mathbf{U} \boldsymbol \Lambda \mathbf{U}^\top$$\mathbf{U}$$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Lambda$$\mathbf{U}^\top$は、データの相関を解除するために必要な回転を提供します（つまり、元の特徴を主成分にマッピングします）。

第三に、回転後、各成分は対応する固有値によって与えられる分散を持ちます。したがって、分散をに等しくするには、平方根で除算する必要があります。$1$$\boldsymbol \Lambda$

すべてを合わせると、ホワイトニング変換はです。ブラケットを開いて、探しているフォームを取得できます。$\mathbf{x} \mapsto \boldsymbol \Lambda^{-1/2} \mathbf{U}^\top (\mathbf{x} - \boldsymbol \mu)$

更新。詳細については、この後のスレッドも参照してください。ZCAホワイトニングとPCAホワイトニングの違いは何ですか？