n回のトスからk個のヘッドを観察します。コインは公正ですか？

私はインタビューでこの質問をされました。「正しい」答えはありますか？ $(n, k) = (400, 220)$

トスがiidで、ヘッドの確率がと仮定します。その場合、400回のトスでの頭の数の分布はNormal（200、10 ^ 2）に近く、220頭は平均から2標準偏差離れています。そのような結果を観察する確率（つまり、どちらの方向でも平均から2 SD離れている）は、5％未満です。 $p=0.5$

インタビュアーは、本質的に、「平均値から2 SD以上を観察した場合、何か他のことが起こっていると結論付けます。コインが公正であることに賭けます」と言った。それは理にかなっています-結局のところ、それはほとんどの仮説テストが行うことです。しかし、それで話は終わりですか？「正解」と思われるインタビュアーにとって。ここで質問しているのは、ニュアンスが正当化されるかどうかです。

このコイン投げの文脈では、コインが公平ではないと判断することは奇妙な結論であると指摘するしかありませんでした。私はそれを言う権利がありますか？以下で説明します。

まず第一に、私は-そして私はほとんどの人も-コインについて強い優先順位を持っていると思います：彼らは公平である可能性が非常に高いです。もちろん、それは公正という意味によって異なります。1つの可能性は、「公正」を「頭が0.5に「近い」、たとえば0.49から0.51の確率を持つ」と定義することです。

（また、完全に公正なコインは今むしろ思われる場合持つには、ヘッドの確率は正確に0.50であることを意味するものとして「公正」を定義することができ、未そう。）

事前の判断は、コインに関する一般的な信念だけでなく、コンテキストにも依存する可能性があります。自分のポケットからコインを引き出した場合、それが公正であることを事実上確信するかもしれません。あなたの魔術師の友人が彼からそれを引き出した場合、あなたの先輩は双頭コインにもっと重みを置くかもしれません。

いずれにせよ、（i）コインが公正である可能性を高くし、（ii）220の頭部を観察した後でも、後部を非常によく似たものにする合理的な優先順位を簡単に思い付きます。次に、平均から2 SDの結果を観察したにもかかわらず、コインは非常に公平である可能性が高いと結論付けます。

実際、たとえば、すべての不公平なコインがある可能性がある場合、400回のトスで220のヘッドを観察することで、後部がより公平なコインに重みを置く例を構築することもできます。 $\{0, 1\}$

誰かが私のためにこれにいくらか光を当てることができますか？

この質問を書いた後、私は以前にこの一般的な状況について聞いたことがあることを思い出しました-それはリンドリーの「パラドックス」ではありませんか？

Whuberはコメントに非常に興味深いリンクを追加しました。ダイをロードできますが、コインをバイアスできません。3ページ目から：

コインが頭の確率pを持っていると言うのは意味がありません。なぜなら、コインは投げられる方法によって完全に決定できるからです。バウンスなし。この場合、p = 1/2。

かなりクール！これは興味深い方法で私の質問と結びついています。コインが「空中に素早く回転して投げ込まれ、跳ね返ることなく空中に閉じ込められている」ことがわかっているとします。それから、コインが公正であるという仮説を絶対に拒否すべきではありません（ここで、「公正」とは、上記の方法で投げたときにp = 1/2を意味することを意味します）。コインは公平です。220のヘッドが観察された後、nullを拒否するのが不快な理由はある程度正当化されるかもしれません。

— エイドリアン
ソース

「コイン」を事前知識のないバイナリプロセスの隠phorとして解釈する場合、質問の一部は変わりますか？

— whuber

@whuberそれはいい質問です。その場合、「p <= 0.05の場合に拒否」を使用するほうがはるかに喜んでいると思いますが、それを自分に正当化する方法がよくわかりません。

— エイドリアン14

私を悩ますもう1つの問題は、質問をする人が、p = 0.50という正確な仮説に興味を持っていたことです。しかし、pが連続的に分布していると考える場合、観察するものに関係なく、確率はゼロになります。ある区間に属するpに関するステートメントを作成することは、はるかに意味のあることです。これは、たとえば、事前知識がなく、統一された事前知識を使用することにした場合の問題です。

— エイドリアン14

それは理にかなっている。ただし、コインに焦点を当てた質問は少し気が散ります。なぜなら、そのような質問への回答は、通常、コイン投げの物理学（および手品）の議論に移るからです。コインがどのように反転するかに応じて、実際の状況があなたの強い優先順位にどれほど反対であるかにショックを受けるかもしれません。「コインの確率がであると言っても意味がありません」

p

$p$ 。

— whuber

@Adrian DJC MacKayは、このリンク（inference.phy.cam.ac.uk/itprnn/book.pdf（p63。）彼の言うことを読んでください。彼はあなたに同様の結論に達します。

— ヒラメ14

回答:

この問題を解決する標準的なベイズの方法（法線近似なし）は、事前分布を明示的に記述し、ベータ分布の尤度と組み合わせます。次に、2つの標準偏差、または49％から51％など、約50％の後部を統合します。

あなたの以前の信念が[0,1]で連続的である場合-例えばBeta（100,100）（これはおおよそ公平なコインに多くの質量を置きます）-可能性も連続的であるため、コインが公正である確率はゼロです[0 、1]。

コインが公正である確率がゼロであっても、通常は、バイアスを超えて事後的に答えようとしていたどんな質問にも答えることができます。たとえば、コインの確率に関する事後分布を考えると、カジノのエッジは何ですか。

— ニール・G
ソース

+1ですが、この答えを少し補足したいと思います。OPが示唆するように、公正なコインを

と定義し、事前確率の

をこれに当てはめると仮定します。次いで妥当前である

ように、

質問のデータが与えられると、事後分布は

0.49 < p < 0.51

$0.49 < p < 0.51$

99 %

$99\%$

p \sim Beta (8300, 8300)

$p \sim \text{Beta}(8300, 8300)$

P (p \in (0.49, 0.51)) = 0.99003.

$P(p \in (0.49, 0.51)) = 0.99003.$

と公正なコインの事後確率は、依然として非常に大きい：

p | data \sim Beta (8300 + 220, 8300 + 180)

$p|\text{data} \sim \text{Beta}(8300+220, 8300+180)$

P (p \in (0.49, 0.51) | data) = 0.9886.

$P(p \in (0.49, 0.51)|\text{data}) = 0.9886.$

— knrumsey

ベルヌーイ分布、この場合はコインのトスについて考えてみましょう。

$B(n=400,p=0.5)$ $N(\mu=200,\sigma^2=100)$

$k$ $95\%$ $B(n=400,p=0.5)$ $p$ $B(n=400,p=0.5,k=220)$

$p=0.5$ $\pi(p=0.5)=0.5$ $\pi(p\neq0.5)=0.5$

$\pi(0.49\leq p\leq0.51)=0.9$ $\pi(p<0.49 \cup p>0.51)=0.1$ $p$

$P(0.49\leq p\leq0.51|k=220)$

$p$ $N(\mu=0.5,\sigma^2=0.25)$ $\sigma^2=0.1$

$p$ $f(p|k=220)$

私の評判は、質問の下にコメントを書くのに十分ではありません。代わりに、ここであなたはコインにバイアスをかけることができないということを書きます。@Adrian

ここに私たちが持っているものがあります

$B(n=400,k=220,p=\theta)$
あなたはコインをバイアスすることはできません理論的および実験的研究

これが私たちの仮説です

$H_0:$ $\hat\theta=0.5$

$H_1$

ここに結果があります

$H_0$
$H_1$

$p$ $H_0$ $H_1$

そうでなければ、ここで仮説検定の二重標準を作成します。コインのトスは公平で、実験データは正しく記録されているという仮説を受け入れることはできません。

コインの確率がpであると言っても意味がありません

この仮説を裏付ける実験結果があります。

$p$ $N(\mu=0.5,\sigma^2)$

$\sigma^s$

— チャン・チャオ
ソース

チャンありがとう。ちょっとした注意：頭の確率よりも事前に正規分布を使用したい場合は、pが[0、1]になるように切り捨てる必要があると思います。

— エイドリアン14

もちろん、多くの合理的な事前分布と対応する事後分布があります。私の質問の本当のポイントはより一般的です。コインが公平ではないと判断することは、このコイン投げの文脈では奇妙な結論に思えます。あなたはそれについてどう思いますか？そしてその理由は？

— エイドリアン14

ここで便利な事前条件はベータ分布です。これは、二項尤度と共役しているためです。しかし、再び、私の質問の本当の推力は、特定の事前よりも一般的です。

— エイドリアン14

π (p = 0.5)

$\pi(p=0.5)$

p \sim U (0, 1)

$p \sim U(0,1)$

E (p) \sim f (p | k = 220)

$E(p) \sim f(p|k=220)$

p = 0.5

$p=0.5$

E (p)

$E(p)$ 。そして、コインは公正ではないという仮説を簡単に受け入れます。特にこの場合、あなたはそのコインを奇妙な結論として公平でないと判断することはありません。

— チャンチャオ14

@ user777正規分布はZhangの応答に2回現れます。1つ目は2項式（大）の近似として、2つ目は頭の確率の事前分布（彼は「事前分布は正規分布p〜N」と言います）。Zhang-Nullが「コインは公平で、データは正しく記録された」という編集は興味深いものです。投稿してくれてありがとう。

— エイドリアン14