独立したランダム変数の機能

独立したランダム変数の関数自体が独立しているという主張は本当ですか？

結果は、いくつかの証明、たとえば正規分布の標本平均と標本分散の独立性の証明などで暗黙的に使用されることがよくありますが、その正当性を見つけることができませんでした。一部の著者はそれを与えられたとおりに受け取っているようですが、これが常に当てはまるかどうかはわかりません。

独立性の最も一般的かつ抽象的な定義は、重要な修飾条件を提供しながらこの主張を簡単にします。2つのランダム変数が独立しているということは、生成するシグマ代数が独立していることを意味します。シグマ代数の測定可能な関数によって生成されるシグマ代数はサブ代数であるため、これらのランダム変数の測定可能な関数はすべて、これらの関数が独立しているため、独立した代数を持ちます。

（関数が測定できない場合、通常、新しいランダム変数は作成されないため、独立の概念は適用されません。）

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定義を展開して、これがどれほど簡単かを見てみましょう。ランダム変数は、 "サンプル空間"（確率を介して調査される結果のセット）で定義された実数値関数であることを思い出してください。$X$$\Omega$

1. ランダム変数は、その値が実数のさまざまな間隔内にある確率（または、より一般的には、間隔外の単純な方法で構築されたセット：これらは実数のボレル測定可能セットです）によって研究されます。$X$

2. Borelの測定可能なセット対応するのは、があるすべての結果で構成されるイベントです。X *（I ）ω X （ω ）$I$ $X^{*}(I)$$\omega$$X(\omega)$$I$

3. によって生成されるシグマ代数は、そのようなすべてのイベントのコレクションによって決定されます。$X$

4. 素朴な定義では、2つの確率変数とは「確率が増加するとき」独立しています。つまり、が1つのボレル測定可能セットで、が別の場合、Y I $X$$Y$$I$$J$

   $\Pr(X(\omega)\in I\text{ and }Y(\omega)\in J) = \Pr(X(\omega)\in I)\Pr(Y(\omega)\in J).$

5. しかし、イベント（およびシグマ代数）の言語では、次と同じです。

   $\Pr(\omega \in X^{*}(I)\text{ and }\omega \in Y^{*}(J)) = \Pr(\omega\in X^{*}(I))\Pr(\omega\in Y^{*}(J)).$

2つの関数を考えて、とが確率変数であると仮定します。（円は関数構成です：。これはが「ランダム変数の関数」であることを意味します。）注意-これ単なる初等集合論です F ∘ X G ∘ Y （F ∘ X ）（ω ）= F （X （ω ））$f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f \circ X$$g\circ Y$$(f\circ X)(\omega) = f(X(\omega))$$f$

$$(f\circ X)^{*}(I) = X^{*}(f^{*}(I)).$$

つまり、（左側）によって生成されたすべてのイベントは、によって生成されたイベントです$f\circ X$$X$ F ∘ X G ∘ Y（右側の形式で示されているように）。したがって、（5）および自動的に保持されます。チェックするものはありません！$f\circ X$$g\circ Y$

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NBあらゆる場所で「実数値」を「値で」に置き換えることができますが、他の何かを変更する必要はありません。これは、ベクトル値のランダム変数のケースをカバーしています。$\mathbb{R}^d$

この「高度ではない」証拠を考えてみましょう。

LET、ここでは独立したランダム変数であり、は測定可能な関数です。次に、 と 独立性を使用して、 X 、Y 、F 、G P { F （X ）≤ X  と  G （Y ）≤ Y $X:\Omega_X\to\mathbb{R}^n,Y:\Omega_Y\to\mathbb{R}^m,f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$$X,Y$$f,g$X Y P （{ X ∈ { W ∈ R N：F （W ）≤ X }

$$P\{f(X)\leq x \text{ and } g(Y)\leq y\}\\=P(\{f(X)\leq x\}\cap\{g(Y)\leq y\})\\=P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\}).$$ $X$$Y$ $$P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\})=\\=P\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\cdot P\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\} \\=P\{f(X)\leq x\}\cdot P\{g(Y)\leq y\}.$$

考え方は、セット したがって、有効なプロパティは拡張され、も同じことが起こります。X F （X ）

$$\{f(X)\leq x\}\equiv\{w\in\Omega_X:f(X(w))\leq x\}=\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\},$$ $X$$f(X)$$Y$

はい、とが独立している限り、関数とに対してとは独立しています。これは非常によく知られた結果であり、確率論のコースで研究されています。ビリングスリーのような標準テキストでそれを見つけることができると確信しています。h （Y ）g h X $g(X)$$h(Y)$$g$$h$$X$$Y$

代替としてではなく、以前の素晴らしい回答への追加として、この結果は実際には非常に直感的であることに注意してください。

通常、とが独立しているということは、の値を知っていてもの値に関する情報が得られず、その逆も同様であると考えています。この解釈は明らかに、関数を適用することで（または実際に他の手段で）何らかの方法で情報を「絞り出す」ことができないことを意味します。$X$$Y$$X$$Y$