イジングモデルのギブスサンプリング

宿題の質問：

1次元イジングモデルを考えます。

してみましょう。は-1または+1のいずれか$x = (x_1,...x_d)$$x_i$

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

目標分布からおおよそサンプルを生成するギブスサンプリングアルゴリズムを設計します。$\pi(x)$

私の試み：

ベクトルを満たす値（-1または1）をランダムに選択します。したがって、おそらくです。これはです。$x = (x_1,...x_{40})$$x = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1,...,1)$$x^0$

したがって、次に進んで最初の反復を行う必要があります。の40の異なるxを個別に描画する必要があります。そう...$x^1$

からを描画し$x_1^1$$\pi(x_1 | x_2^0,...,x_{40}^0)$

からを描画し$x_2^1$$\pi(x_2 | x_1^1, x_3^0,...,x_{40}^0)$

からを描画し$x_3^1$$\pi(x_3 | x_1^1, x_2^1, x_4^0,...,x_{40}^0)$

等..

だから私をつまずかせる部分は、実際に条件付き分布からどのように引き出すかです。どのように遊びに来ますか？たぶん、1つのドローの例は、事を明らかにするでしょう。$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

最初にこのケースを見てください。に依存しない用語を。 $x_1$

$$\pi(x_1\mid x_2,\dots,x_d) = \frac{\pi(x_1,x_2,\dots,x_d)}{\pi(x_2,\dots,x_d)} \propto e^{x_1 x_2}$$ $$P(X_1=-1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{-x_2}}{C}$$ $$P(X_1=1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{x_2}}{C}$$ $$\frac{e^{-x_2}}{C} + \frac{e^{x_2}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_2$$

x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

一般化し（違いに注意してください。以下のIlmariのコメントを参照してください）。$x_2,\dots,x_{40}$

イジングの分析結果を使用してシミュレーションをチェックできますか？