インテリジェンス二乗スコアリングと勝者決定

Intelligence Squaredと呼ばれるNPRポッドキャストがあります。各エピソードは、「第2改正はもはや関係ない」または「大学のキャンパスでの積極的措置は、善よりも害をもたらす」などの論争的な声明に関するライブ討論の放送です。4人の代表者が討議します。2人は動議、2人は反対です。

どちらが勝つかを決定するために、聴衆は討論の前後に投票されます。絶対パーセンテージでより多く獲得した側が勝者と見なされます。例えば：

          For    Against  Undecided
 Before   18%      42%       40%
 After    23%      49%       28%

 Winner: Against team -- The motion is rejected.

直観的には、この成功の尺度には偏りがあると思うので、公正な方法で勝者を決定するために聴衆をどのように投票するのか疑問に思っています。

現在の方法ですぐにわかる3つの問題：

• 極端な場合、一方が100％の合意で開始した場合、両者は結びつくか失うかしかできません。

• 未決定がない場合、初期合意が少ない側は、描画元のサンプルサイズが大きいと見なすことができます。

• 未決定の側が本当に未決定である可能性は低いです。両側が等しく分極されていると仮定すると、未決定の人口についての私たちの以前の信念は、それぞれが側に追いやられた場合、であると思われます。$\text{Beta}(\text{# For}, \text{# Against})$

オーディエンスポーリングに頼らなければならないことを考えると、勝者を判断するより公平な方法はありますか？

あなたの懸念は十分に根拠があります。残念ながら、この問題を解決するための多くの防御的で客観的な方法があり、それらは互いに衝突する可能性があります。 以下の分析では、どのように判断するためのフレームワークを提供し、あなたがあなたの結論はあなたが状況のダイナミクスについて作る仮定にどのように依存し、結果やショーを評価したい場合がありますが。

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私たちは、最初の聴衆をほとんどまたはまったく制御できません。それは、私たちがより関心を持っているより大きな人口（すべての視聴者など）を表していない可能性があります。したがって、意見の絶対数はほとんど関係ありません。重要なのは、人々が心を変える可能性のある割合です。（これらのレートから、聴衆の意見の割合が、ポーリングされたスタジオの聴衆と異なる場合でも、最初の意見に関する情報を与えられて、聴衆の変化を推定することができました。）

したがって、結果は、考えられる6つの意見の変化と6つの関連する変化率で構成されます。

• 私はとインデックスます誰「のために」これらの彼らの心を変更し、反対のどちらかに終わることができます（インデックスの2の速度で）12 または未定（インデックスと3レートで）$1,$$2$$a_{12}$$3$$a_{13}$。

• 「反対」する人は、レートで「for」に、またはレートa 23で「未定」に心を変えることができます。$a_{21}$$a_{23}$

• 未決定者は、心をレートで「for」に、またはレートa 32で「アゲインスト」に変えることができます$a_{31}$$a_{32}.$

定義I Iのために、私は= 1 、2 、3 、インデックスの人の割合であることを、私は彼らの心を変更しません。$a_{ii}$$i=1,2,3,$$i$

行列の列には、1に追加する必要がある負でない数が含まれます（最初の投票に応答するすべての人が最後の投票にも応答すると仮定します）。葉聴衆に初期分布からの遷移に基づいて決定するために6つの独立した値、すなわちX = （0.18 、0.42 、0.40 ）、最終的な配信にY = （0.23 、0.49 、0.28 ）$\mathbb{A}=(a_{ij})$$x=(0.18, 0.42, 0.40)$$y=(0.23, 0.49, 0.28) = \mathbb{A}x$。これは、（制約された）線形方程式の未決定のシステムであり、解を導き出す際に非常に柔軟性があります。3つのソリューションを見てみましょう。

解決策1：最小限の変更

何らかの意味で、遷移行列を可能な限り小さくするように依頼する場合があります。1つの方法は、意見を変える人の割合を最小限に抑えることです。これは、ソリューションでの例で達成されます$\mathbb{A}$

$$\mathbb{A}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0.125 \\ 0 & 1 & 0.175 \\ 0 & 0 & 0.700 \\ \end{array} \right).$$

つまり、未決定者のが最終的には反対し、17.5 ％が反対し、元の賛成論も反対論も考えを変えませんでした。勝ったのは誰？反対は明らかに、議論が未決定者の大部分を説得して「反対」意見に落ち着くようにしたからです。$12.5\%$$17.5\%$

このモデルは、最初の派factが彼らの意見に固執し、心を変える可能性のある唯一の人々が未決定と最初に宣言された人々の中にいると信じるときに適切です。

解決策2：最小二乗

数学的に簡単な解決策は、L 2ノルムが2乗する行列を見つけることです。| A | | 2 2 = t r （A ' A）は可能な限り小さくなります。これにより、9つの遷移確率（心を変えない割合を表すa i iを含む）の平方和が最小化されます。その解決策（小数点以下2桁に四捨五入）は$\mathbb{A}$$L^2$$||\mathbb{A}||_2^2 = tr(\mathbb{A}^\prime \mathbb{A})$$a_{ii}$

$$\mathbb{A} = \left( \begin{array}{ccc} 0.28 & 0.22 & 0.22 \\ 0.41 & 0.51 & 0.50 \\ 0.31 & 0.27 & 0.28 \\ \end{array} \right).$$

行を比較すると、「反対」側のが「for」に変換するように説得されましたが（さらに27 ％は十分に混乱して未定になりました）、「for」側の完全に41 ％が変換されました（そして別の31 ％が混乱していた）。元の未決定者は、「反対」側に変換する傾向がありました（50 ％対22 ％）。現在、「反対」が明確な勝者です。$22\%$$27\%$$41\%$$31\%$$50\%$ $22\%$

最小二乗ソリューションは通常、各グループに多くの変化をもたらします。（問題の制約を受けるが、すべてに同じ変更をしようとしている$1/3$それは人口の現実的な描写に対応するかどうかを決定することは困難である。）が、それは何が起こったかの数学的に可能な絵を示しません討論中。

解決策3：ペナルティ付き最小二乗

人々が自分の意見を変更する割合を制御および制限するために、意見の変更を支持しない用語を含めることにより、最小二乗目標をペナルティにしましょう。これらはの対角線上の項です。未定ではない人の意見を変えるのは難しいと思われるので、後者を軽視するのが良いでしょう。このためには正の重みを導入ω Iをして見つけAのために| | A | | 2 2 - ω 1 11 - ω 2 22 - ω 3 33が最小化されます。$\mathbb{A}$$\omega_i$$\mathbb{A}$

$$||\mathbb{A}||_2^2 - \omega_1 a_{11} - \omega_2 a_{22} - \omega_3 a_{33}$$

例えば、のウェイト選択することにより、50％undecidedsをdownweightせ。（丸められた）ソリューションは$\omega = (1,1,1/2)$

$$\mathbb{A} = \left( \begin{array}{ccc} 0.91 & 0 & 0.17 \\ 0.03 & 0.93 & 0.23 \\ 0.06 & 0.07 & 0.60 \\ \end{array} \right).$$

この解決策は最初の2つの中間です。コミットされた側のごく一部が気分を変えたり、未定になったり、未定のが決定を下しました（17 ％に対して23 ％）。ただし、ここでも結果は明らかに「反対」派ionを支持しています。$40\%$$17\%$$23\%$

概要

この意見変更の移行モデルでは、ほとんどの解決方法は、この特定の例の「反対」側の勝利を示しています。変化のダイナミクスに関する強い意見がなければ、「反対」側が勝ったことを示唆しています。

$(.20,.60,.20)$$(.30,.40,.30)$$20\%$$30\%$$40\%$$30\%$。ただし、（丸められた）最小二乗解は、少なくとも、議論が反対側をわずかに支持する、これが起こりうる方法があることを示唆しています！それは

$$\mathbb{A} = \left( \begin{array}{ccc} 0.32 & 0.29 & 0.32 \\ 0.36 & 0.42 & 0.36 \\ 0.32 & 0.29 & 0.32 \\ \end{array} \right).$$

$36\%$$29\%$$(36\%)$ $32\%$

追加コメント

$\mathbb{A}$

$\mathbb{A}$

$$\begin{equation} p(\textrm{for}_\textrm{after},\textrm{against}_{\textrm{after}},\textrm{undecided}_{\textrm{after}} \mid \textrm{for}_\textrm{before},\textrm{against}_{\textrm{before}},\textrm{undecided}_{\textrm{before}}) \end{equation}$$ $0.5$両方のチームのために。結果空間は2次元であるため、決定ルールにはまだ複数の選択肢がありますが、予測モデルを信頼する場合、これはコンテストの公平性の観点からは重要ではありません。たとえば、討論後のFor-Against比率が予測中央値（ポーリング前の条件付き）を超えた場合、For-teamが勝つと判断することができます。

予測モデルを構築するためのアイデア

$$\begin{align} (P(\textrm{for} \mid \textrm{for before}),P(\textrm{ud} \mid \textrm{for before}),P(\textrm{ag} \mid \textrm{for before})) & \sim Dir(a_{ff},a_{uf},a_{af}) \\ (P(\textrm{for} \mid \textrm{ud before}),P(\textrm{ud} \mid \textrm{ud before}),P(\textrm{ag} \mid \textrm{ud before})) & \sim Dir(a_{fu},a_{uu},a_{au}) \\ (P(\textrm{for} \mid \textrm{ag before}),P(\textrm{ud} \mid \textrm{ag before}),P(\textrm{ag} \mid \textrm{ag before})) & \sim Dir(a_{fa},a_{ua},a_{aa}), \end{align}$$ where the $P$s are transition probabilities for individuals and the $a$s are hyperparameters that control how the transition probabilities vary from debate to another. The $a$s are learned from data of previous shows, either by optimizing point estimates (e.g. maximum a posteriori or maximum likelihood) these, or a full Bayesian solution that outputs a posterior distribtuion of the $a$s. One could also add some symmetry constraints if one wants to assume for and against behave similarly (before knowing the particular debate question) e.g., $a_{ff}=a_{aa}$, $a_{fu}=a_{au}$.

Given posterior distributions or point estimates of $a$s, and the distribution of individuals in current before poll (that I now assumed to be independent of the transition probabilities), it is straightforward to simulate the distribution of after-debate-poll numbers, and then pick the median of, e.g., for/against-ratio as the winning threshold.