ブックメーカーがサッカーの試合でオッズの価格を間違っている確率はどれくらいですか？

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英語のサッカーチームは、さまざまな能力を持つさまざまな対戦相手と一連の試合を行います。ブックメーカーは、ホームウィン、アウェイウィン、ドローのいずれであるかについて、試合ごとにオッズを提供します。シーズンの途中で、チームは試合を行い、そのうちのを引き分けました。これはオッズから予想される以上のものです。 $n$ $k$

ブックメーカーが不運なだけでなく、これらの試合のオッズの価格を誤っている確率はどのくらいですか？ブックメーカーがチームの残りの試合に同じように価格を付け続け、それぞれが引き分けになることを賭けた $\$1$ 場合、予想されるリターンはどうなりますか？

probability games gambling

— ロドリゴ・デ・アゼベド
ソース

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以前math.stackexchange.com/q/31871/18398

— Joel Reyes Noche

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あなたの質問への答えは、あなたが使用しようとしている情報と仮定に複雑に依存します。これは、ゲームの結果が非常に複雑なプロセスであるためです。それはあなたが持っているどんな情報に依存して任意に複雑になる可能性があります：

特定のチームのプレーヤー-おそらく特定のプレーヤーの組み合わせでさえ関係があるかもしれません。
他のチームのプレーヤー
リーグの歴史
チームのプレーヤーはどれくらい安定していますか？プレーヤーは選択されたりドロップされたりし続けますか、それとも同じですか11。
賭けをする時間（ゲーム中？以前？どれだけ前？当日の前に賭けることで失われる情報？）
私が省略したサッカーの他の関連機能。

ブックメーカーが与えるオッズは、ブックメーカーのオッズを反映したものではありません。それらが確率である場合、これは不可能です。ブックメーカーは、誰かがドローに賭けた場合にオッズを調整し、誰かが非ドローに賭けた場合に調整します。したがって、オッズはギャンブラー（そのブックメーカーを使用する）全体のオッズを反映しています。つまり、価格設定自体がミスであるのはブックメーカーではなく、ギャンブルの集団、つまり「平均的なギャンブラー」です。

ここで、「因果メカニズム」が引き分けにつながる結果をシーズン全体で一定に保つことをいとわないなら（合理的ですか？おそらくそうではありません...）、単純な数学的な問題が発生します（ただし、これには理由がないことに注意してください）他のいくつかの単純化する仮定よりも「正しい」こと）これが使用されている仮定であることを思い出させるために、は確率の条件付け側に置かれます。この仮定の下で、二項分布が適用されます。 $A$

P (k Draws in n matches | θ, A) = (\binom{n}{k}) θ^{k} (1 - θ)^{n - k}

$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$

そして、私たちは以下を計算したいと思います

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A)

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$

= \int_{0}^{1} P (next match is a draw | θ, A) P (θ | k Draws in n matches, A) d θ

$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$

ここで、

P (θ | k Draws in n matches, A) = P (θ | A) \frac{P (k Draws in n matches | θ, A)}{P (k Draws in n matches | A)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$

の事後です。この場合、抽選が発生する可能性があること、および発生しない可能性があることはかなり明白であるため、統一シーズンが適切です（シーズンの結果を超えて追加したい追加情報がない限り）。）そして、ます。その後、事後はベータ分布によって与えられます（はベータ関数です） $\theta$ $P(\theta|A)=1$ $B(\alpha,\beta)$

P (θ | k Draws in n matches, A) = \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$

と与えられた場合、次の一致が引き分けである確率はなので、積分は次のようになります。 $\theta$ $A$ $\theta$

\int_{0}^{1} θ \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)} d θ = \frac{B (k + 2, n - k + 1)}{B (k + 1, n - k + 1)} = \frac{k + 1}{n + 2}

$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$

したがって、確率は次のとおりです。

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A) = \frac{k + 1}{n + 2}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$

しかし、それは行われた仮定に依存することに注意してください。「価格のオッズ」いくつかの他の未知の複雑な情報の確率条件を呼び出し、言う。したがって、公開されたオッズが上記の割合と異なる場合、これはとが異なる結論につながることを示しているため、どちらも「真の結果」について正しくない可能性があります（ただし、どちらもそれぞれの仮定に基づいて正しい場合があります））。 $A$ $B$ $A$ $B$

キラーブロー

この例は、サッカーゲームのメカニズムを説明する際に、がよりも「正確」であるかどうかを判断するために、質問への回答が要約されたことを示しています。 これは、命題がどうなるかに関係なく発生します。私たちは常に「誰の仮定が正しいのか、ギャンブルの集団なのか、それとも私なのか」という質問に要約します。この最後の質問は、命題何で構成されているか（または少なくともいくつかの主要な機能）がわかるまでは、基本的に答えられない質問です。知られているものと知られていないものをどのように比較できますか？ $A$ $B$ $A$ $B$

更新：実際の答え:)

@whuberが気前よく指摘したように、ここでは実際に期待値を指定していません-したがって、この部分は単に私の回答のその部分を完了するだけです。が価格オッズでtrueであると想定し場合、次のゲームでを受け取ることが期待され $A$ $Q$

Q \times P (next match is a draw | k Draws in n matches, A) - 1

$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$

= Q \times \frac{k + 1}{n + 2} - 1 = \frac{Q (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

あなたがの値と仮定した場合、今あなたと同じモデルに基づいて、我々はどのように正確に予測することができ将来に変更されます。仮定言う、均一なものと異なる前に基づいていた、それに対応する確率は $Q$ $Q$ $Q$ $Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A_{Q}) = \frac{k + α_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

期待される戻り値

\frac{Q (k + α_{Q}) - n - α_{Q} - β_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

ここで、「前の重み」、はシーズンの長さになります（これにより、「ミスプライシング」がシーズンの残りの部分に継続することができます）。期待されるリターンをゼロに設定します： $\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$ $N$

α_{Q} = \frac{2 n + N}{2 Q} - k

$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$

（注：これが実際のモデルでない限り、はに依存するため、この計算がいつ行われたかに依存します）。今、私たちはどのように予測することができますそれが追加されます、将来的に調整されます各マッチのために分母に、そして試合は引き分けだった場合は分母に。したがって、最初の試合後に予想されるオッズは次のとおりです。 $\alpha_Q$ $n,k,Q$ $Q$ $1$ $1$

(1 + \frac{n + β_{Q} - k + 1}{k + α_{Q}}) \frac{n - k + β_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}} + (1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q} + 1}) \frac{k + α_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

= 1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q}} (1 + \frac{2}{(2 n + N) (k + α_{Q} + 1)}) \approx 1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q}}

$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$

つまり、オッズはシーズンを通じてあまり変わりません。この概算を使用すると、シーズンの残りの期間で期待される収益が次のように得られます。

(N - n) \frac{Q (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

しかし、これはドローの過度に単純化されたモデルに基づいていることを覚えておいてください（注：これは必ずしも「がらくた」予測子になるという意味ではありません）。特定のモデルがなく、特定の事前情報もないため、質問に対する一意の回答はありません（例：この本を使用する人の数、本の売上高は？、私の賭けは価格のオッズにどのように影響しますか？）。指定されているのは1つのシーズンのデータのみであり、「一部の指定されていないモデル」の確率は、オッズの価格設定によって暗示される確率と一致しません。

— 確率論的
ソース

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ブックメーカーはオーバーラウンドを使用するので、何が勝っても結果がどうなるかを気にしません。貧しい本と出会うことはありません。ブックメーカーが誤った価格を設定している場合、あなたの利益を上げる能力は、ブックメーカーが提供するオッズと、生み出された利益があなたが失う時間をカバーするかどうかに依存します。

— パーベリー
ソース

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質問がブッキーの期待収益ではない、ギャンブラーの予想リターンを要求するので、これは、真のが、ほとんど無関係であり

— probabilityislogic

@probabilityだから何であるギャンブラーの期待リターンは？返信で見つかりませんでした:-)。

— whuber