少女対男児の出生率の予想数

クリティカル・シンキングのための就職面接適性テストで質問に出会いました。これは次のようなものです：

Zorganian Republicには非常に奇妙な習慣があります。女性だけが家族の財産を相続できるため、カップルは女性の子供が欲しいだけです。したがって、男性の子供がいる場合は、女の子が生まれるまで子供を増やし続けます。女の子がいたら、子供を持つのをやめます。Zorganiaの女の子と男の子の比率はどのくらいですか？

私は質問作成者が与えたモデルの答えに同意しません。それは約1：1です。正当化は、出生が常に男性または女性である確率が50％であることでした。

が国内の少女の数であり、Bが少年の数である場合、より数学的な精力的な答えで納得してもらえますか？$\text{E}[G]:\text{E}[B]$$G$

子供なしで始めます

ステップを繰り返す

{

まだ子供がいる夫婦には子供がいます。カップルの半分は男性で、カップルの半分は女性です。

女性がいるカップルは子供を持つのをやめます

}

各ステップで、男性と女性の偶数を取得し、子供を持つカップルの数を半分に減らします（つまり、女性がいたカップルには次のステップで子供がいません）

そのため、常に同じ数の男性と女性が存在し、ステップごとに子供を持つカップルの数は半分に減少しています。より多くのカップルが作成されると、同じ状況が再発し、他のすべてのものが等しくなると、人口には同じ数の男性と女性が含まれます

ましょ家族の中で少年たちの数も。女の子がいるとすぐに止まります$X$

$$\begin{array}{| l |l | } \hline X=0 & \text{if the first child was a girl}\\ X=1 & \text{if the first child was a boy and the second was a girl}\\ X=2 & \text{if the first two children were boys and the third was a girl}\\ \text{and so on}\ldots &\\ \hline \end{array}$$

場合子供が男の子であることと、男女が子供の間で独立している場合、確率が持つ最大の家族が終了する確率である男の子がある つまり、人の男の子がいて、次に女の子がいる確率。期待数少年のが に 注目すると、得られ k個のP（X = K ）= PのK ⋅ （1 - P ）、k個のE X = ∞ Σ K = 0、K PのK ⋅ （1 - pは）= ∞ Σ K = 0 k個のp kは - ∞ Σ K = 0 k個のp K + 1。∞ Σ K $p$$k$

$$\mbox{P}(X=k)=p^{k}\cdot (1-p),$$ $k$ $$\operatorname{E}X=\sum_{k=0}^\infty kp^k \cdot (1-p)=\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}.$$ $$\sum_{k=0}^\infty kp^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}$$ Σ ∞ 、K = 0、P、K=1/（1-P）0<P< $$\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty p^{k+1}=p\sum_{k=0}^\infty p^{k}=\frac{p}{1-p}$$ ここで、ときにた（幾何級数を参照）。$\sum_{k=0}^\infty p^k=1/(1-p)$$0<p<1$

場合は、我々はそれを持っているE X = 0.5 / 0.5を。つまり、平均的な家族には男の子が1人います。比もアウト時間をかけてすることになるので、我々はすでに、すべての家族が1の女の子を持っていることを知っている1 / 1 = 1。$p=1/2$$\operatorname{E}X=0.5/0.5$$1/1=1$

ランダム変数は、幾何学的ランダム変数として知られています。$X$

概要

すべての出生が独立して女の子になる確率が50％であるという単純なモデルは非現実的であり、結局のところ例外的です。集団間の結果のばらつきの結果を考慮するとすぐに、答えは、少女と少年の比率は1：1を超えない任意の値にできるということです。（実際には、まだ1：1に近いと思われますが、それはデータ分析が決定する問題です。）

これら2つの相反する答えはどちらも出生結果の統計的独立性を仮定することによって得られるため、独立性への訴えは不十分な説明です。したがって、（女性の出生の可能性における）変動がパラドックスの背後にある重要なアイデアであるように思われます。

前書き

何かを信じる正当な理由があると思うが、それとは反対の堅実な議論に直面したときに、パラドックスが発生します。

パラドックスに対する満足のいく解決策は、両方の議論について何が正しかったのか、何が間違っていたのかを理解するのに役立ちます。確率と統計の場合によくあることですが、両方の引数は実際に有効である可能性があります。解決は、暗黙的に行われた仮定の違いに依存します。これらの異なる仮定を比較することで、状況のどの側面が異なる答えにつながるかを特定するのに役立ちます。私は、これらの側面を特定することが最も重要だと考えています。

仮定

$1/2$

1. $i$$p_i$

2. 停止規則がない場合、人口における女性の出生の予想数は男性の出生の予想数に近いはずです。

3. すべての出生結果は（統計的に）独立しています。

$p_i$

分析

$2N$$2/3$$1/3$

$N$

$f(N,p)$$N$$p$$N$$f(N,p) = f(p)N$$m(p)N$

• $pN$$(1-p)N$$pN$$(1-p)N$

• $(1-p)N$$f(p)[(1-p)N]$$m(p)[(1-p)N]$

$f(p)N$$m(p)N$

$$f(p)N = pN + f(p)(1-p)N\ \text{ and }\ m(p)N = (1-p)N + m(p)(1-p)N$$

ソリューション付き

$$f(p) = 1\ \text{ and }\ m(p) = \frac{1}{p}-1.$$

$N$$p=2/3$$f(2/3)N = N$$m(2/3)N = N/2$

$N$$p=1/3$$f(1/3)N = N$$m(1/3)N = 2N$

$(1+1)N = 2N$$(1/2+2)N = (5/2)N$$N$

$$\mathbb{E}\left(\frac{\text{# girls}}{\text{# boys}}\right) \approx \frac{2N}{(5/2)N} = \frac{4}{5}.$$

停止規則は男の子に有利です！

$p$$1-p$$N$

$$\frac{2p(1-p)}{1 - 2p(1-p)}.$$

$p$$0$$1$$0$$1$$1$$1$$p=1/2$

解決

あなたの直感が、最初の少女で停止することが人口の中でより多くの少年を生み出すべきであるということであるならば、この例が示すように、あなたは正しいです。正しいことをするために必要なのは、女の子を出産する確率が家族によって（ほんの少しでも）異なることです。

「公式」答えは、比率が1：1に近いはずであり、いくつかの非現実的な仮定が必要であり、それらに敏感です。家族間で変動がなく、すべての出生が独立している必要があると仮定します。

コメント

この分析で強調された重要なアイデアは、母集団内の変動が重要な結果をもたらすということです。 このスレッドのすべての分析に使用される単純化された仮定ですが、出生の独立性はパラドックスを解決しません。なぜなら、（他の仮定に応じて）公式の答えとその反対の両方と矛盾しないからです。

$p_i$$p_i$$p_i$

性別を他の遺伝子発現に置き換えると、自然選択の簡単な統計的説明が得られます：遺伝的構成に基づいて子孫の数を差別的に制限するルールは、次世代の遺伝子の割合を体系的に変更できます。遺伝子が性に関連していない場合、わずかな効果でさえ、世代を超えて増殖的に増殖し、急速に大きく拡大する可能性があります。

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元の答え

それぞれの子供には、長子、長子、などの出生順があります。

男性と女性の出生の確率が等しく、性別間の相関がないと仮定すると、大数の弱い法則は、長子の女性と男性の比率がほぼ1：1になると断言しています。同じ理由で、男児に対する二番目に生まれた女性の比率はほぼ1：1になります。これらの比率は常に1：1であるため、出生順序の相対頻度が母集団にあることが判明した場合でも、全体の比率も1：1でなければなりません。

各子供の誕生は独立した出来事であり、男の子はP = 0.5、女の子はP = 0.5です。他の詳細（家族の決定など）は、この事実からあなたをそらすだけです。答えは、比率が1：1であるということです。

これを説明するために、「ヘッド」が得られるまで、子供を産む代わりに、公正なコイン（P（heads）= 0.5）をめくっていると想像してください。ファミリーAがコインを裏返し、[テール、テール、ヘッド]のシーケンスを取得したとします。その後、ファミリーBはコインを裏返し、テールを獲得します。さて、次が頭になる可能性は何ですか？それでも0.5です。これは、独立したことを意味するからです。1000ファミリでこれを行う場合（つまり、1000のヘッドが出てきた場合）、各フリップ（イベント）は完全に独立しているため、予想されるテールの総数は1000です。

ファミリ内のシーケンスなど、独立していないものもあります。シーケンス[heads、heads]の確率は0で、[tails、tails]（0.25）と等しくありません。しかし、質問はこれについては問いませんので、無関係です。

あなたが頭を観察するまで、公正なコインを投げることを想像してください。あなたは何尾を投げますか？

$P(0 \text{ tails}) = \frac{1}{2}, P(1 \text{ tail}) = (\frac{1}{2})^2, P(2 \text{ tails}) = (\frac{1}{2})^3, ...$

予想されるテールの数は簡単に計算され* 1になります。

ヘッドの数は常に1です。

*これはあなたに明確でない場合は、「証拠の概要」を参照こちら

ちょうど1人の女の子と男の子のいないカップルが最も一般的です

これがすべてうまくいく理由は、女の子が多いシナリオの確率が男の子が多いシナリオよりもはるかに大きいためです。そして、より多くの男の子がいるシナリオは非常に低い確率を持っています。特定の方法を以下に示します

NumberOfChilden Probability  Girls   Boys  
1               0.5           1       0  
2               0.25          1       1  
3               0.125         1       2  
4               0.0625        1       3  
...             ...           ...     ...  

NumberOfChilden Probability   Girls*probabilty   Boys*probabilty 
1               0.5           0.5                0
2               0.25          0.25               0.25
3               0.125         0.125              0.25
4               0.0625        0.0625             0.1875
5               0.03125       0.03125            0.125
...             ...           ...                ...  
n               1/2^n         1/(2^n)            (n-1)/(2^n)

この時点で、これがどこに向かっているのかを見ることができます。女の子と男の子の合計が合計で1になります。

1組のカップルから期待される女の子${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{2^n})=1$
${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{n-1}{n^2})=1$

^{Wolframのソリューションを制限する}

出生は、家族が何であれ、男の子または女の子になる可能性は50:50です

（カップルとして試してみてください）特定の出生が男の子か女の子になる確率を制御できないため、これはすべて本質的な意味を持ちます。子供がいないカップルに生まれたのか、100人の男の子の家族に生まれたのかは関係ありません。チャンスは50:50なので、個々の出生に50:50のチャンスがある場合は、常に男の子と女の子の半分を取得する必要があります。そして、あなたがどのように家族間の出生を切り直してもかまいません。あなたはそれに影響を与えるつもりはありません。

これは任意の¹ルールで機能します

出生の可能性は50:50であるため、比率は（合理的な^1の）ルールを考え出すと1：1になります。たとえば、以下の同様のルールもうまく機能します

カップルは、女の子がいるとき、または子供が2人いるときに子供を持つことをやめます

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
1               0.5           1       0
2               0.25          1       1
2               0.25          0       2

この場合、予想される子の合計はより簡単に計算されます

1組のカップルから期待される女の子${}=0.5\cdot1 + 0.25\cdot1 =0.75$
${}=0.25\cdot1 + 0.25\cdot2 =0.75$

¹私が言ったように、これは現実の世界に存在する可能性のある任意の合理的なルールに対して機能します。不合理なルールは、カップルごとに予想される子供が無限であるルールです。たとえば、「親は女の子の2倍の男の子がいる場合にのみ子を持つことを停止します」、上記と同じ手法を使用して、このルールが無限の子を与えることを示すことができます。

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
3               0.125         1       2
6               1/64          2       4
9               1/512         3       6
3*m             1/((3m)^2     m       2m

その後、有限数の子を持つ親の数を見つけることができます

有限の子供を持つ予想される親の数${}=\sum_{m=1}^\infty(\frac{1}{1/(3m)^2})=\frac{\pi^2}{54}=0.18277\ldots.$

^{Wolframのソリューションを制限する}

そのため、82％の親が無限の数の子供を持つことを確立できます。都市計画の観点から、これはおそらく困難を引き起こし、この状態は現実の世界には存在し得ないことを示します。

シミュレーションも使用できます。

p<-0
for (i in 1:10000){
  a<-0
  while(a != 1){   #Stops when having a girl
    a<-as.numeric(rbinom(1, 1, 0.5))   #Simulation of a new birth with probability 0.5
    p=p+1   #Number of births
  }
}
(p-10000)/10000   #Ratio

これをマッピングすることで、出生人口の比率（1：1と想定）と子供の人口の比率がどちらも1：1になるかをよりよく理解できました。いくつかの家族には複数の男の子がいて、女の子は1人しかいないため、最初は女の子より男の子の方が多いと思うようになりましたが、それらの家族の数は 50％を超えず、子供が増えるごとに半分に減ります少女のみの家族の数は50％です。したがって、男の子と女の子の数は互いにバランスが取れます。下部の合計175を参照してください。

あなたが手に入れたのは、最もシンプルで正しい答えでした。生まれたばかりの子供が男の子である確率がpであり、間違った性別の子供が不幸な事故に遭わない場合、両親が子供の性別に基づいてより多くの子供を持つことを決定するかどうかは関係ありません。子の数がNで、Nが大きい場合、約p * N人の男の子が期待できます。より複雑な計算の必要はありません。

「子供を持つ家族の一番下の子供が男の子である確率」や「子供を持つ家族の一番上の子供が男の子である確率」など、他の質問も確かにあります。（これらの1つには単純な正解があり、もう1つには単純な不正解があり、正解を取得するのは難しいです）。

させて

$\text{$\Omega$={(G),(B,G),(B,B,G),$\dots$}}$

サンプル空間になってみましょう

$\text{X: $\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$; $\omega\mapsto\vert\omega\vert$-1}$

$\omega$$\text{E(X)}$

$\text{E(X)=$\sum_{n=1}^\infty(\text{n-1})\cdot0.5^n$=1}$

少女の期待値は1です。したがって、比率も1です。

ちょっとした質問です。比率は同じ（1：1）のままです。正しい答えは、出生率には影響を与えないが、家族あたりの出生数の平均が2であるという制限要因により、家族あたりの子供の数に影響するということです。

これは、論理テストで見つけられるような質問です。答えは出生率に関するものではありません。それは気晴らしです。

これは確率の質問ではなく、認知的推論の質問です。1：1の比率で答えたとしても、テストは失敗します。

「MATLAB」ソフトウェアを使用して、モンテカルロシミュレーション（500x1000ファミリ）用に作成したコードを示しています。私が間違えないようにコードを精査してください。

結果が生成され、下にプロットされます。シミュレートされた女の子の出生確率は、ある範囲の自然出生確率の停止規則に関係なく、基礎となる自然出生確率と非常によく一致します。

コードをいじってみると、以前はやったことがなかった点を理解しやすくなります。他の人が指摘しているように、停止ルールは気を散らすものです。停止規則は、一定の人口を与えられた家族の数にのみ影響し、別の観点からは、一定の数の家族を与えられた出産数に影響を与えます。性別はサイコロによってのみ決定されるため、比率または確率（子供の数とは無関係）は、自然な少年：少女の出生率にのみ依存します。

testRange=0.45:0.01:0.55;
N=uint32(100000); %Used to approximate probability distribution
M=1000; %Number of families
L=500; %Monte Carlo repetitions
Nfamily=zeros(length(testRange),1);
boys=zeros(length(testRange),1);
girls=zeros(length(testRange),1);
for l = 1:L
    j=1; %Index variable for the different bgratio
    for bgratio=testRange
    k=1; %Index variable for family in each run (temp family id)
    vec=zeros(N,1);
    vec(1:N*bgratio,1)=1; %Approximate boy:girl population for dice roll, 
    %1 = boy

    vec=vec(randperm(s,N)); %Random permutation, technically not necessary 
    %due to randi used later, just be safe
    bog = vec(randi(N)); %boy or girl? (God's dice roll)

    while k<M %For M families...
        if bog == 1 %if boy:
            boys(j) = boys(j)+1; %total global boys tally
        else
            girls(j)=girls(j)+1; %total global girls tally
            %Family stops bearing children
            Nfamily(j) = Nfamily(j)+1; %total global family tally
            k=k+1; %temp family id
            %Next family...
        end
        bog=vec(randi(N)); %Sample next gender (God's dice roll)
    end

    j=j+1; %Index variable for the different bgratio
    end
end
figure;
scatter(testRange,girls./(boys+girls))
hold on
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.44 0.56 0.44 0.56])

$i^{th}$$X_i$$0.5$

$E[\sum_i X_i] = \sum_i E[X_i] = 0.5 n$$n$

$E[\sum_i (1- X_i)] = \sum_i E[1-X_i] = 0.5 n$

出生の独立は、期待値の計算には無関係です。

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Apropos @ whuber's answer男の子の期待値合計。

私は、他の人が何をしたかを見る前に、matlabでシミュレーションを独自にプログラムしました。厳密に言えば、実験は一度しか実行しないため、MCではありません。ただし、結果を得るには1回で十分です。これが私のシミュレーションの結果です。プリミティブとして出生の確率がp = 0.5であるとは考えていません。出生確率をPr（Boys = 1）= 0.25：0.05：0.75の範囲で変化させます。

私の結果は、確率がp = 0.5から逸脱すると、性比は1とは異なることを示しています。つまり、これは以前に@månstで識別された幾何学的ランダム変数です。これは、元のポスターが直観的だったと思うものです。

私の結果は、MATLABコードを使用した上記のポスターが行ったことを厳密に模倣しており、男の子が生まれる確率0.45、0.50、および0.55での性比を一致させています。より高速なコードで結果を得るためにわずかに異なるアプローチを取っているので、私は私のものを紹介します。比較を達成するために、コードでsが定義されておらず、この変数の元の意図がわからないため、コードセクションvec = vec（randperm（s、N））を省略しました（このコードセクションは、元々述べました）。

コードを投稿します

clear all; rng('default')

prob_of_boy = 0.25:0.05:0.75;
prob_of_girls = 1 - prob_of_boy;

iterations = 200;

sex_ratio = zeros(length(prob_of_boy),1);
prob_of_girl_est = zeros(length(prob_of_boy),1);
rounds_of_reproduction = zeros(length(prob_of_boy),1);

for p=1:length(prob_of_boy)

    pop = 1000000;

    boys = zeros(iterations,1);
    girls = zeros(iterations,1);
    prob_of_girl = zeros(iterations,1);

    for i=1:iterations

        x = rand(pop,1);
        x(x<prob_of_boy(p))=1;

        %count the number of boys and girls
        num_boys = sum(x(x==1));

        boys(i) = num_boys;
        girls(i) = pop - num_boys;

        prob_of_girl(i) = girls(i)/(pop);

        %Only families that had a boy continue to reproduce
        x = x(x==1);

        %new population of reproducing parents
        pop = length(x);

        %check that there are no more boys 
        if num_boys==0

            boys(i+1:end)=[];
            girls(i+1:end)=[];
            prob_of_girl(i+1:end)=[];
            break

        end
    end

    prob_of_girl_est(p) = mean(prob_of_girl(prob_of_girl~=0));
    sex_ratio(p) = sum(boys)/sum(girls);
    rounds_of_reproduction(p) = length(boys);
end

scatter(prob_of_girls,prob_of_girl_est)
hold on
title('Est. vs. True Probability of a Girl Birth')
ylabel('Est. Probability of Girl Birth')
xlabel('True Probability of Girl Birth')
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.2 0.8 0.2 0.8])

scatter(prob_of_girls,sex_ratio)
hold on
title('Sex Ratio as a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Sex Ratio: $\frac{E(Boys)}{E(Girls)}$','interpreter','latex')

scatter(prob_of_girls,rounds_of_reproduction)
hold on
title('Rounds of Reproduction a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Rounds of Reproduction')

次のグラフは、多数の強い法則が与えられると予想されます。再現していますが、重要なグラフは2番目のグラフです。

ここでは、子供のいずれかの性別の出生について0.5以外の人口確率は、全体の人口の性比を変更します。出生が独立していると仮定すると（ただし、繁殖を続ける選択肢ではない）、条件付き再生の各ラウンドでは、人口確率が男の子と女の子の出産の全体的な構成を決定します。したがって、他の人が言及したように、問題の停止規則は人口の結果に重要ではありません。これは幾何学的分布としてこれを特定したポスターによって回答されました。

完全を期すために、停止規則が影響するのは、母集団の生殖の回数です。実験を1回しか実行していないため、グラフは少しギザギザになっています。しかし、直感があります。特定の人口規模では、少女の出生の確率が高くなるため、人口全体が生殖を停止する前に家族が希望する少女を得るために生殖のラウンドを少なくする必要があることがわかります（明らかにラウンドの数は人口規模。たとえば、最初の女の子が生まれる前に家族が49人の男の子を持つ可能性が機械的に増加するため）

計算された性比の比較：

[sex_ratio' prob_of_boy']

0.3327    0.2500
0.4289    0.3000
0.5385    0.3500
0.6673    0.4000
0.8186    0.4500
1.0008    0.5000
1.2224    0.5500
1.5016    0.6000
1.8574    0.6500
2.3319    0.7000
2.9995    0.7500

そして、MATLABコードを使用した前のポスターからのもの：

[boys./girls testRange']

0.8199    0.4500
0.8494    0.4600
0.8871    0.4700
0.9257    0.4800
0.9590    0.4900
1.0016    0.5000
1.0374    0.5100
1.0836    0.5200
1.1273    0.5300
1.1750    0.5400
1.2215    0.5500

それらは同等の結果です。

それは家族の数に依存します。

$X$$p=0.5$

$$P(X = x) = 0.5^x, x=1,2,3...$$ $E(X) = 2$

$N$

$$\frac{N}{ \sum X_i}$$

$\sum X_i /N \rightarrow E(X) = 2$$N \rightarrow \infty$

$T$$T = \sum X_i$$T$

$$P(T=t) = C^{t-1}_{N-1} 0.5^t, t = N, N+1...$$

$$E\left[ \frac{N}{\sum X_i} \right] = E\left[ \frac{N}{T} \right] = \sum_{t=N}^{\infty} \frac{N}{t} C^{t-1}_{N-1} 0.5^t = {_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$$ $_2F_1$

${_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$