条件付き同分散性と異分散性

以下からの計量経済学、林文夫（Chpt 1）によって：

無条件の同相性：

• 誤差項E（εᵢ²）の2番目の瞬間は、観測全体で一定です
• 関数形式E（εᵢ²| xi）は観測全体で一定です

条件付き同相性：

• 誤差項E（εᵢ²）の2次モーメントが観測全体で一定であるという制限が解除されます。
  • したがって、条件付き二次モーメントE（εᵢ²| xi）は、xᵢに依存する可能性があるため、観測全体で異なる可能性があります。

それで、私の質問：

条件付き同相性は、異相性とどのように異なりますか？

私の理解では、2番目の瞬間が観測（xᵢ）で異なる場合、不均一分散性があるということです。

コメントしたい人を助けるために、林から引用することから始めます。書式と元の方程式番号を保持しようとしました。

林ページ126、セクション2.6から引用を開始します。

条件付き対無条件同相性

条件付きの等分散性の仮定は次のとおりです。

仮定2.7（条件homoskedasticity）： この仮定は、無条件二次モーメントことを意味E （ε 2 iは）等しいσ

$$\begin{align*} \tag{2.6.1} E(\epsilon_i^2|\mathbf{x}_i)=\sigma^2>0. \end{align*}$$ $E(\epsilon_i^2)$$\sigma^2$法則合計の期待で。無条件と条件付きホモスケダスティクスの違いを明確にするために、次の例を考慮してください[例2.6（無条件にホモスケダスチックだが条件付きヘテロスケダスチックエラー）...]

引用を終了します。

$$\begin{align*} \tag{1.1.12} E(\epsilon_i^2|\mathbf{X})=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,\ldots,n) \\\ \tag{1.1.17} E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,.\ldots,n). \end{align*}$$

$(\epsilon_i,\mathbf x_i)$$i$$E(\epsilon_i^2)$$i$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$$i$$i$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$$i$$\mathbf x_i$

[林からの引用はこれ以上ない。この時点以降は私の理解だけである。]

$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2$, then $E(\epsilon_i^2)=E[E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)]=E[\sigma^2]=\sigma^2$, as Hayashi notes on page 126 (that conditional homoskedasticity implies unconditional homoskedasticity by the Law of Total Expectations).

So I think part of the issue may be the interpretation of Hayashi's statements. Conditional homoskedasticity says (1.1.17) even for different $\mathbf x_i$, the variance of $\epsilon_i$ is the same constant $\sigma^2$. Unconditional homoskedasticity is a weaker statement, in that you could have $E(\epsilon_i^2)=\sigma^2$ but $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)\ne\sigma^2$; Examples 2.6 (page 127) illustrates this. It also perhaps answers the question of the overlap between homo- and heteroskedasticity: it gives an example where there is unconditional homoskedasticity as well as conditional heteroskedasticity.

These are confusing concepts, especially without a lot of experience with conditional expectations/distributions, but hopefully this adds some clarity (and source material for any future discussions).