一般化線形モデルでの正規性の残差の確認

このホワイトペーパーでは、一般化線形モデル（二項および負の二項誤差分布の両方）を使用してデータを分析します。しかし、メソッドの統計分析セクションには、次のステートメントがあります。

... 2つ目は、ロジスティック回帰モデルを使用してプレゼンスデータをモデリングし、一般化線形モデル（GLM）を使用して採餌時間データをモデリングすることです。対数リンク関数を伴う負の二項分布を使用して、採餌時間データをモデル化し（Welsh et al。1996）、モデルの妥当性を残基の検査により検証しました（McCullagh＆Nelder 1989）。Shapiro–WilkまたはKolmogorov–Smirnov検定を使用して、標本サイズに応じて正規性を検定しました。データは分析の前にログ変換され、正常に準拠しました。

彼らが二項および負の二項誤差分布を仮定する場合、確実に残差の正規性をチェックするべきではありませんか？

NB逸脱（またはピアソン）残差は、ガウスモデルを除いて正規分布を持つとは予想されません。以下のためのロジスティック回帰の場合について、@Statは言うように、ずれ残差番目の観測Y iはによって与えられます。$i$$y_i$

$$r^{\mathrm{D}}_i=-\sqrt{2\left|\log{(1-\hat{\pi}_i)}\right|}$$

$y_i=0$

$$r^{\mathrm{D}}_i=\sqrt{2\left|\log{(\hat{\pi}_i)}\right|}$$

$y_i=1$$\hat{\pi_i}$

#generate Bernoulli probabilities from true model
x <-rnorm(100)
p<-exp(x)/(1+exp(x))

#one replication per predictor value
n <- rep(1,100)
#simulate response
y <- rbinom(100,n,p)
#fit model
glm(cbind(y,n-y)~x,family="binomial") -> mod
#make quantile-quantile plot of residuals
qqnorm(residuals(mod, type="deviance"))
abline(a=0,b=1)

$n_i$$i$

$$r^{\mathrm{D}}_i=\operatorname{sgn}({y_i-n_i\hat{\pi}_i})\sqrt{2\left[y_i\log{\frac{y_i}{n\hat{\pi}_i}} + (n_i-y_i)\log{\frac{n_i-y_i}{n_i(1-\hat{\pi}_i)}}\right]}$$

$y_i$$n_i$$n_i$

#many replications per predictor value
n <- rep(30,100)
#simulate response
y<-rbinom(100,n,p)
#fit model
glm(cbind(y,n-y)~x,family="binomial")->mod
#make quantile-quantile plot of residuals
qqnorm(residuals(mod, type="deviance"))
abline(a=0,b=1)

ポアソンGLMまたは負の二項GLMの場合も同様です。予測カウントが低い場合、残差の分布は離散的で歪んでいますが、正しく指定されたモデルの下では、カウントが大きくなると正規化される傾向があります。

少なくとも私の首の部分では、通常の残留正規性のテストを行うことは普通ではありません。場合は正常テストは、基本的に役に立たない、あなたのモデルは、正確な正規性を前提としていたときに、その後、なおさらではそうでないときには役に立たないのです。それでも、不飽和モデルの場合、グラフィカルな残留診断は、予測パターンごとの反復数に応じてピンチまたは一握りの塩で正常性を取り、適合性の有無と性質を評価するのに役立ちます。

彼らがしたことは正しいです！二重チェックへの参照を提供します。線形回帰分析の概要、第5版のセクション13.4.4を参照ダグラス・C・モンゴメリー、エリザベス・A・ペック、G・ジェフリー・バイニング。特に、460ページの例を参照してください。ここでは、二項分布に適合し、「偏差残差」の正規性の仮定を再確認しています。458ページで述べたように、これは「逸脱残差が標準の標準理論の線形回帰モデルで通常の残差と同じように動作する」ためです。したがって、それらを通常の確率プロットスケールと、近似値でプロットすると意味があります。再度、上記のリファレンスの456ページを参照してください。それらは、二項の場合だけでなく、ポアソンglmおよびガンマ（link = log）についてもページ460および461で提供した例で、逸脱残差の正常性をチェックしました。
二項の場合、逸脱残差は次のように定義されます。

$$r^{D}_i=-\sqrt{2|\ln{(1-\hat{\pi_i})}|}$$ $y_i=0$ $$r^{D}_i=\sqrt{2|\ln{(\hat{\pi_i})}|}$$ $y_i=1$。次に、Rでコーディングして、それを取得する方法を示します。

> attach(npk)

> #Fitting binomila glm
> fit.1=glm(P~yield,family=binomial(logit))
> 
> #Getting deviance residuals directly
> rd=residuals(fit.1,type = c("deviance"))
> rd
         1          2          3          4          5          6          7 
 1.1038306  1.2892945 -1.2912991 -1.1479881 -1.1097832  1.2282009 -1.1686771 
         8          9         10         11         12         13         14 
 1.1931365  1.2892945  1.1903473 -0.9821829 -1.1756061 -1.0801690  1.0943912 
        15         16         17         18         19         20         21 
-1.3099491  1.0333213  1.1378369 -1.2245380 -1.2485566  1.0943912 -1.1452410 
        22         23         24 
 1.2352561  1.1543163 -1.1617642 
> 
> 
> #Estimated success probabilities
> pi.hat=fitted(fit.1)
> 
> #Obtaining deviance residuals directly
> rd.check=-sqrt(2*abs(log(1-pi.hat)))
> rd.check[P==1]=sqrt(2*abs(log(pi.hat[P==1])))
> rd.check
         1          2          3          4          5          6          7 
 1.1038306  1.2892945 -1.2912991 -1.1479881 -1.1097832  1.2282009 -1.1686771 
         8          9         10         11         12         13         14 
 1.1931365  1.2892945  1.1903473 -0.9821829 -1.1756061 -1.0801690  1.0943912 
        15         16         17         18         19         20         21 
-1.3099491  1.0333213  1.1378369 -1.2245380 -1.2485566  1.0943912 -1.1452410 
        22         23         24 
 1.2352561  1.1543163 -1.1617642 
> 

ポアソンの場合もこちらで確認してください。