2つの正規分布したランダム変数間のユークリッド距離の分布は何ですか？

正確な位置は不明ですが、既知のパラメーター（および使用して正規分布に従って分布している2つのオブジェクトが与えられていると仮定します。我々は、これらの位置が上に分布によって記述されるように、両方の二変量法線であると仮定することができる座標（すなわち、および期待含むベクターであるの座標とそれぞれ）。また、オブジェクトは独立していると仮定します。 $a \sim N(m, s)$ $b \sim N(v, t))$ $(x,y)$ $m$ $v$ $(x,y)$ $a$ $b$

これらの2つのオブジェクト間のユークリッド距離の2乗分布が既知のパラメトリック分布であるかどうかは誰にもわかりませんか？または、この関数のPDF / CDFを分析的に導出する方法は？

normal-distribution distance-functions

— ニック
ソース

4つの座標がすべて無相関であれば、非中心カイ2乗分布の倍数を取得する必要があります。それ以外の場合、結果ははるかに複雑に見えます。

— whuber

@whuber結果の非中心カイ2乗分布のパラメーターがオブジェクトa、bのパラメーターにどのように関連するかについて提供できる詳細/ポインターは、素晴らしいだろう

— ニック

@Nick ウィキペディアの記事の最初の数段落で詳細を説明します。特性関数を調べることにより、すべての分散が同じではないか、何らかの相関がある場合に、同様の結果が得られないことを確認できます。

— whuber

@Nick、明確にするために、とは両方とも値を持つランダムなベクトルですか？

a

$a$

b

$b$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

— mpiktas

@ Nick、とが一緒に正常である場合、差はも正常です。次に、問題はランダムな法線ベクトルの分布を見つけることです。グーグルこのリンクを見つけました。このペーパーでは、非常に複雑な問題について説明していますが、これは非常に特殊な場合にあなたの問題と一致します。これは、あなたの質問に対する明確な答えがあるという希望を与えます。参照により、検索する場所についてさらにアイデアが得られる場合があります。

a

$a$

b

$b$

a - b

$a-b$

— mpiktas

回答:

この質問に対する答えは、Mathai and Provost（1992、Marcel Dekker、Inc.）によるランダム変数の二次形式の本にあります。

コメントから明らかなように、の分布を見つける必要があります。ここで、は、平均および共分散行列二変量正規分布に従います。これは、2変量ランダム変数 2次形式です。 $Q = z_1^2 + z_2^2$ $z = a - b$ $\mu$ $\Sigma$ $z$

簡単に言えば、およびである次元の場合の一般的な結果の1つは、モーメント生成関数がここで、はの固有値、は線形関数です。上記の本の定理3.2a.2（42ページ）を参照してください（は非特異であると仮定しています）。別の有用な表現は3.1a.1（29ページ）。ここで $p$ $z \sim N_p(\mu, \Sigma)$

Q = \sum_{j = 1}^{p} z_{j}^{2}

$Q = \sum_{j=1}^p z_j^2$

E (e^{t Q}) = e^{t \sum_{j = 1}^{p} \frac{b_{j}^{2} λ_{j}}{1 - 2 t λ_{j}}} \prod_{j = 1}^{p} (1 - 2 t λ_{j})^{- 1 / 2}

$E(e^{tQ}) = e^{t \sum_{j=1}^p \frac{b_j^2 \lambda_j}{1-2t\lambda_j}}\prod_{j=1}^p (1-2t\lambda_j)^{-1/2}$

λ_{1}, \dots, λ_{p}

$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$

Σ

$\Sigma$

b

$b$

μ

$\mu$

Σ

$\Sigma$

Q = \sum_{j = 1}^{p} λ_{j} (u_{j} + b_{j})^{2}

$Q = \sum_{j=1}^p \lambda_j(u_j + b_j)^2$

u_{1}, \dots, u_{p}

$u_1, \ldots, u_p$ はです。

N (0, 1)

$N(0, 1)$

本の第4章全体は、密度と分布関数の表現と計算に当てられていますが、これは決して簡単ではありません。私はこの本に表面的にしか精通していませんが、私の印象は、すべての一般的な表現は無限級数展開の観点からのものだということです。

そのため、ある方法での質問に対する答えは、はい、2つの二変量正規ベクトル間のユークリッド距離の二乗分布は、4つのパラメーターによってパラメーター化された既知の（そしてよく研究された）分布のクラスに属します及び。ただし、標準の教科書にはこのディストリビューションが含まれていないことを確信しています。 $\lambda_1, \lambda_2 > 0$ $b_1, b_2 \in \mathbb{R}$

さらに、とは独立している必要はありません。ジョイントの正規性は十分であり（それらが独立しており、各正規分布である場合は自動的です）、差は正規分布に従います。 $a$ $b$ $a-b$

— NRH
ソース

参照してくれてありがとう、私は本を見つけて、ゆっくりとそれを通り抜けようとしています

— ニック

@NRH私は対称ケース（）でMGFを自分で操作しました。ここで、あり、合計で代わりにを持っています。シミュレーションは最初の瞬間を検証します。これはあなたが言及した「線形関数」であり、これは対称の場合に特有のものである可能性がありますが、エラーがある場合にそれを指摘したいと思いました。

λ_{j} = σ^{2}

$\lambda_j = \sigma^2$

p = 2

$p=2$

b_{j}^{2} λ_{j}

$b_j^2 \lambda_j$

μ_{j}^{2}

$\mu_j^2$

— カイル14

実際、定義に基づいて、指数関数の分子は、対称（共通の分散を持つ独立次元）の場合にに減少します。

b_{j}

$b_j$

μ_{j}^{2}

$\mu_j^2$

— カイル14

最初に、差分ベクトルの二変量分布。これは、単純にます。これは、ブロック対角行列を含む多変量不確実性伝播にとヤコビアン。 $\mu_d = \mu_1 - \mu_2$ $\Sigma_d = \Sigma_1 + \Sigma_2$ $\Sigma_d = \mathrm{J} \Sigma_{12} \mathrm{J}^T$ $\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & \\ & \Sigma_2 \end{bmatrix}$ $\mathrm{J} = \begin{bmatrix} +\mathrm{I}, & -\mathrm{I} \end{bmatrix}$

次に、差ベクトルの長さの分布、または原点からの半径方向の距離（Hoyt分布）を探します。

極座標（半径と角度）で書き直された不等分散の二変量相関正規確率変数の真の平均の半径は、ホイット分布に従います。pdfとcdfは閉じた形式で定義され、cdf ^ -1を見つけるために数値ルート検索が使用されます。相関が0で分散が等しい場合、レイリー分布になります。

Ballistipediaから偏った差異（シフトした原点）を許容する場合、より一般的な分布が生じます。

— フェリペ・G・ニービンスキー
ソース

+1ですが、この質問はあなたの図が「一般的なケース」と呼ぶものを扱っていることを指摘する価値があると思います。

— アメーバは、Reinstate Monica

試してみませんか？

set.seed(347)
x <- rnorm(10000)
y <- rnorm(10000)
x2 <- rnorm(10000)
y2 <- rnorm(10000)

qdf <- data.frame(x,y,x2,y2)
qdf <- data.frame(qdf,(x-x2)^2+(y-y2)^2)
colnames(qdf)[5] <- "euclid" 

plot(c(x,y),c(x2,y2))
plot(qdf$euclid)
hist(qdf$euclid) 
plot(dentist(qdf$euclid))

プロット1 プロット2 プロット3 プロット4

— ブランドン・バーテルセン
ソース

元の質問に対するwhubersのコメントは、分散が同じで変数が無相関の場合にどのように見えるかをすでに述べています。おそらくこれが当てはまらない場合の例を与えることは、より啓発的でしょう。

— アンディW

そのような例を提供できますか？

— ブランドンバーテルセン

行う必要があるのは、相関するか、異なる分散を持つxおよびy値を生成することだけです。さまざまな差異をそのままコード内で実行できます。MASSパッケージのmvrnormを使用して、指定された共分散行列から値を生成できます。また、おそらく「密度」である必要がある場合、上記のコードの「歯科医」機能が何であるかはわかりません。

— アンディW

そうは言っても、これがなぜそうなのか（そして分散/共分散を操作することで分布がどのように変化するか）を計算するために数学を操作することはおそらく同じくらい啓発的です。whuberが言及している特徴的な機能を見ただけでは、なぜこれが当てはまるのか、私には完全にはわかりません。ランダム変数の加算、減算、乗算のルールを簡単に理解すれば、その理由を理解することができます。

— アンディW