すべての既知の分布が単一モードであるのはなぜですか？

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マルチモーダル分布は知りません。

すべての既知の分布が単一モードであるのはなぜですか？複数のモードを持つ「有名な」ディストリビューションはありますか？

もちろん、分布の混合はしばしばマルチモーダルですが、複数のモードを持つ「非混合」分布が存在するかどうかを知りたいです。

distributions mode

— ミロスラフ・サボ
ソース

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あなたは「知ら」ディストリビューションではなく、「標準」のディストリビューションの話をしている。

— ステファン・ローラン

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ベータはどうですか？

α = β = 0.5

$\alpha=\beta=0.5$

— アメーバは、モニカを復活させる14

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境界付き二峰性分布を気にしないのであれば、ウィキペディアはU二次分布とアークサイン分布にも言及しています。私はウィキペディアにも言及しているのに...これらはベータ分布の単なる特殊な例だと思うマルチモーダル分布の自然発生の例をいくつか。

— ニックスタウナー14年

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@StéphaneLaurent：私は「ブランド名ディストリビューション」が好きです。名前が付けられたこと自体がディストリビューションの特別なステータスを意味しないことを伝えるためです。「既知の」分布は、ロッホネスの怪物や暗黒物質のように、残りが発見されるのを待っているように聞こえます。

— Scortchi-モニカの復職

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素晴らしい@Scortchi、素晴らしい語彙！私が出会った多くの非数学者科学者は、名前のない分布は存在しないという印象を受けています。おそらくその背後にある関連するより深い哲学的事実、名前とこの名前が示すものの混乱（ラッセルが言ったように、「犬」という言葉は犬に似ていない」）

— ステファン・ローラン14年

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質問の最初の部分は、質問へのコメントに答えている：たくさんの「ブランド名」の分布はマルチモーダルあり、そのような任意のベータ版としてとの分布と。それでは、質問の2番目の部分に移りましょう。 $(a,b)$ $a\lt 1$ $b\lt 1$

離散分布はすべて、明らかに単峰性の原子の混合物です。

ほとんどの連続分布も単峰分布の混合であることを示します。この背後にある直感は簡単です。グラフが水平になるまで、PDFのでこぼこのグラフからバンプを1つずつ「サンドオフ」できます。バンプは混合成分になり、それぞれが明らかに単峰性です。

結果として、おそらくPDFが非常に不連続であるいくつかの異常な分布を除いて、質問に対する答えは「なし」です。絶対連続、離散、またはこれら2つの組み合わせのすべてのマルチモーダル分布は、ユニモーダル分布の混合です。

PDF が連続している連続分布を考えます（これらは「絶対連続」分布です）。（連続性はあまり制限されていません。不連続点が離散的であると単に仮定すると、より慎重な分析によってさらに緩和できます。） $F$ $f$

される「モード」を定義し、発生する可能性がある一定の値の「プラトー」に対応する間隔（これは、単一の点であるかもしれない場合）、そのような $m = [x_l, x_u]$ $x_l=x_u$

は一定の値たとえば持ちます。 $f$ $m,$ $y$
は、厳密に含む区間では一定ではありません。 $f$ $m$
到達するの最大値がと等しくなるような正の数が存在します。 $\epsilon$ $f$ $[x_l-\epsilon, x_u+\epsilon]$ $y$

ましょうの任意のモードである。ので、連続的であり、間隔がある含むれる中に非減少され及び非増加（適切な間隔だけでなく、点である） $m = [x_l, x_u]$ $f$ $f$ $[x_l^\prime, x_u^\prime]$ $m$ $f$ $[x_l^\prime, x_l]$ $[x_u, x_u^\prime]$ （これも適切な間隔です）。ましょこのようなすべての値のinfinimumとなるようなすべての値のsupremum。 $x_l^\prime$ $x_u^\prime$

この構造は、から伸びるのグラフ上の1つの「こぶ」を定義しています。ましょうの大きくなる及び。構成により、点の集合は、でれる適切な間隔であり、 $f$ $x_l^\prime$ $x_u^\prime$ $y$ $f(x_l^\prime)$ $f(x_u^\prime)$ $x$ $[x_l^\prime, x_u^\prime]$ $f(x)\ge y$ $m^\prime$ 厳密にを含む（またはの全体を含むため）。 $m$ $[x_l^\prime, x_l]$ $[x_u, x_u^\prime]$

マルチモーダルPDF、モードのこの図では、横軸上の赤い点によって識別されます。塗りつぶしの赤い部分の水平方向の範囲は、間隔です。これは、モードによって決定されるハンプの基部です。そのこぶのベースは高さである。元のPDFは、赤の塗りつぶしと青の塗りつぶしの合計です。青い塗りつぶしには近くに1つのモードしかないことに注意してください。で元のモード削除されました。 $m=[0,0]$ $m^\prime$ $m$ $y\approx 0.16$ $2$ $[0,0]$

ライティングの長さについて、定義する $|m^\prime|$ $m^\prime$

p_{m} = {Pr}_{F} （ m^{'} ） - y | m^{'} |

$p_m = {\Pr}_F(m^\prime) - y|m^\prime|$

そして

f_{m} (x) = \frac{f (x) - y}{p_{m}}

$f_m(x) = \frac{f(x) - y}{p_m}$

場合及びそれ以外の場合。（これにより、は連続関数になります。）分子はがを超える量であり、分母はとグラフ間の面積です。したがって、は非負であり、総面積はです。これは確率分布のPDFです。構造上、一意のモードます。 $x \in m^\prime$ $f_m(x)=0$ $f_m$ $f$ $y$ $p_m$ $f$ $y$ $f_m$ $1$ $m$

また、構築により、関数

f_{m}^{'} (x) = \frac{f (x) - p_{m} f_{m} (x)}{1 - p_{m}}

$f_m^\prime(x) = \frac{f(x) - p_mf_m(x)}{1 - p_m}$

提供されるPDF です。（明らかに、もしの左何もないそもそも単峰性であったに違いない。）また、それは間隔にはモードがありません Aの理由前注意深く定義され、それは一定ですさらに、 $p_m\lt 1$ $p_m=1$ $f,$ $m^\prime$

f (x) = p_{m} f_{m} (x) + (1 - p_{m}) f_{m}^{'} (x)

$f(x) = p_m f_m(x) + (1-p_m)f_m^\prime(x)$

は、単峰性PDF とPDF 混合です。 $f_m$ $f_m^\prime$

この手順を（連続関数の線形結合はまだ連続関数であるため、以前のように進めることができます）で反復し、モードのシーケンスます。対応する重みのシーケンス ; およびPDF $f_m^\prime$ $m=m_1, m_2, \ldots$ $p_1=p_m, p_2=p_{m_2}, \ldots$ $f_1=f_m, f_2=f_{m_2}, \ldots.$ （a）が平坦化される区間には、前の演算で平坦化されなかった適切な区間が含まれ、（b）実数はそのような区間の可算数以上に分解できないため、制限結果が存在します。制限にはモードを設定できないため、定数であり、ゼロでなければなりません（そうでなければ積分は発散します）。その結果、は混合として表現されます（モードが選択された順序が重要になるため、おそらく一意ではありません）。 $f_i$ $i-1$ $f$

f (x) = \sum_{i} p_{i} f_{i} (x)

$f(x) = \sum_i p_i f_i(x)$

ユニモーダル分布、QED。

— ウーバー
ソース

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ユニモーダルということで、OPは明白に内部モードが1つしかないことを意味すると思います（つまり、コーナーソリューションを除く）。したがって、質問は本当に尋ねています...

why is it that brand name distributions do NOT have more than one interior mode?

$\text{why is it that brand name distributions do NOT have more than one interior mode?}$

つまり、ほとんどのブランド名の分布が次のようになるのはなぜですか。

...多少の歪度または不連続性のプラスまたはマイナス？このように問題が提起された場合、ベータ分布は有効な反例ではありません。

OPの推測にはある程度の妥当性があるようです。ほとんどの一般的なブランド名の分布では、複数のインテリアモードが許可されていません。これには理論的な理由があるかもしれません。たとえば、Pearsonファミリー（ベータを含む）のメンバーである分布は、ファミリー全体を定義する親差分eqnの結果として、必然的に（内部）ユニモーダルになります。そして、ピアソンファミリーは、最も有名なブランド名のほとんどを入れ子にします。

それにもかかわらず、ここにいくつかのブランド名カウンターの例があります...

カウンターの例

1つのブランド名の反例は、pdfを使用した分布です。 $\text{Sinc}^2$

f (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{π x^{2}}

$f(x)=\frac{\sin ^2(x)}{\pi x^2}$

実線で定義されます。 pdfのプロットは次のとおりです。 $\text{Sinc}^2$

また、このクラスに関連するカーディオドと分布のファミリーを追加することもできます。次のようなPDFプロットを使用します。

反映されたブランド名の分布のファミリーは、おそらくここに示されているReflected Weibullのような可能性のあるブランド名の候補です（ただし、これらは「チートソリューション」と考えられるかもしれません...しかし、まだブランド名です）：

— オオカミ
ソース

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{Sinc}^{2}

$\text{Sinc}^2$

1

こんにちは@whuber ...プロットのアーティファクトに同意する必要があります（Mathematica SE で取り上げます！）。カーディオッドファミリーについて：アイデアは、好きなようにそのようなファミリーのドメインを拡張することができ、サイン波のように、それは与え続けます:)

— wolfies

1

{Sinc}^{2}

$\text{Sinc}^2$

プロットされた線が軸線より太いため、ゼロに近いときに軸を「オーバーシュート」しているように見えるからだと思います。線が細くプロットされると、アーティファクトは消えます。

— -wolfies

しかし、下の図にはそのようなアーティファクトはなく、軸よりも太い線もあります。

— whuber

3

That you mightn't think of any doesn't mean there aren't any.

I can name "known" distributions that aren't unimodal.

For example, a Beta distribution with $\alpha$ and $\beta$ both $<1$ .

http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution

also see

http://en.wikipedia.org/wiki/U-quadratic_distribution

(This isn't a special case of the beta distribution, in spite of the comment that says it is. The two families have some overlap, however.)

混合分布は確かに知られており、それらの多くはマルチモーダルです。

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース

The U-quadratic is a truncated Beta distribution.

— becko

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アルファスキュー正規分布（Elal-Olivero 2010）にはPDFがあります。

\frac{{（ 1 - α \frac{バツ - μ}{σ} ）}^{2} + 1}{2 + α^{2}} φ （ \frac{バツ - μ}{σ} ） 、

$\frac{\left(1-\alpha\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2+1}{2+\alpha^2} \varphi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),$

どこ $\varphi$ は標準ガウスのPDFです。

にとって $|\alpha|>1.34$ 分布はバイモーダルです。のプロット例 $\mu=1,\sigma=0.5,a=2$ ：

— corey979
ソース