分布はどのようにして無限の平均と分散を持つことができますか？

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以下の例を挙げることができれば幸いです。

無限平均と無限分散のある分布。
無限の平均と有限の分散を持つ分布。
有限平均と無限分散の分布。
有限平均と有限分散を持つ分布。

Wilmottフォーラム/ウェブサイトでスレッドを読んで、グーグルで、読んでいる記事で使用されているこれらのなじみのない用語（無限平均、無限分散）を見て、十分に明確な説明を見つけられなかったからです。また、自分の教科書には説明がありません。

distributions variance mean

— user1205901-モニカの回復
ソース

1

上記のリストのケース2は不可能です。

— kjetil bハルヴォルセン

関連： stats.stackexchange.com/questions/94402/...

— HalvorsenのはKjetil B

1

有限分散と無限分散の違い

— kjetil b halvorsen

2

これらの4つの特定の例を求めることで、これは明確な質問であり、重複して閉じられるべきではないと思います。

— シルバーフィッシュ

1

4つの例のうち、実際に可能なのは1、3および4のみであり、1および4については簡単な例を挙げることができます。Cauchyは1の例で、Gaussianは4の例です。 .meanが存在しない場合。したがって、2は使用できません。3の例は、構築するのに興味深いでしょう。

— マイケルR.チャーニック

52

平均と分散は積分の観点から定義されます。平均または分散が無限であることの意味は、それらの積分の制限動作に関する記述です

例えば、平均値である（これを考慮し、スティールチェス積分として言います）。連続的な密度のために、このようになり（今リーマン積分として、言います）。 $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$ $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

これは、たとえば、尾が「十分に重い」場合に発生する可能性があります。有限/無限平均と分散の4つのケースについて、次の例を考えてください。

無限平均と無限分散のある分布。

例：パレート分布と、ゼータ（2）分布。 $\alpha= 1$
無限の平均と有限の分散を持つ分布。

ありえない。
有限平均と無限分散の分布。

例：分布 $t_2$ 。パレート。 $\alpha=\frac{3}{2}$
有限平均と有限分散を持つ分布。

例：通常。任意のユニフォーム（実際、すべての境界変数にはすべてのモーメントがあります）。。 $t_3$

また、積分が未定義であるが、必ずしも制限内のすべての有限境界を超えて通過するわけではない分布を持つことができます。

Charles Geyerによるこれらのメモは、関連する積分を簡単な用語で計算する方法について説明しています。リーマン積分を扱っているように見えますが、これは連続的なケースのみをカバーしていますが、積分のより一般的な定義（たとえば、Stieltjes）は、必要となる可能性のあるすべてのケースをカバーします[ルベーグ積分は測定理論で使用される積分の形式（これは確率の根底にあります）が、ここのポイントはより基本的な方法でうまく機能します]。また、なぜ「2.」なのか（Sec 2.5、p13-14）もカバーしています。不可能です（分散が存在する場合は平均が存在します）。

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース

7

+1（2）が不可能な理由は簡単です。分散は平均の観点から定義されます。

の2番目のモーメントが有限である場合、平均は有限でなければならないという事実が少し深くなっています。平均が無限大、その後であればためなおさら二次モーメントは、の値重み付けされているため、二次モーメントが無限大でなければならない

確率ではなく、またによってのみならず、

自体（

）。これらの重みは無限に大きくなり、2番目の瞬間が最終的に最初の瞬間の絶対値を超えます。

X

$X$

X

$X$

X

$X$

X^{2} = X \times X

$X^2 = X\times X$

— whuber

4

@whuberしかし、平均を参照せずに分散を定義することもできます（値のペアの差の二乗の予測など）。そのため、問題はそれほど重要ではありません。2番目の引数のようなものが実際に必要です。

— グレン_b-モニカの復帰14

3

それは良い点ですが、分散の代替定義がすべての分布の通常の定義と代数的に等しいことを受け入れる場合、論理的にはそれに従って定義されていないことを十分に示すと思われる1つの定義に従って定義されていない場合ショッピングモールへ。あなたが言及するような選択肢が前面に出てくるのは、さまざまな定義が同等ではない確率過程の研究です。

— whuber

2

はい、そうです。負ではない確率変数の期待値である分散は、正の部分のみのルベーグ積分に等しくなります。 したがって、それは何であれ、有限または無限（拡張された数値の行で）です。非負であるというこの特性は、偶数の瞬間の分析を、定義に失敗する可能性がある他の瞬間の分析と区別します。

— whuber

2

分散の定義は、それが等しいことである

。

E [(X - E (X))^{2}]

$\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

— whuber

5

安定した分布は、探しているものの優れた、パラメトリックな例を提供します。

無限の平均と分散： $0 < \text{stability parameter} < 1$
なし
有限平均と無限の分散： $1 \leq \text{stability parameter} < 2$
有限平均と分散：（ガウス） $\text{stability parameter} = 2$

— スティーブ・シューリスト
ソース

1

ここでは、サンクトペテルブルクのパラドックスについて誰も言及していません。そうでなければ、1つの「受け入れられた」回答を含む複数の回答が既にあるこの古いスレッドには投稿しません。

コインが「ヘッド」に着地した場合、1セントを獲得します。

「テール」の場合、賞金は2倍になり、2回目のトスで「ヘッド」の場合、2セントになります。

2回目に「テール」する場合、賞金は再び2倍になり、3回目のトスに「ヘッド」する場合、4セントに勝ちます。

\begin{array}{rccc} 結果 & 賞金 & 確率 & 製品 \\ H & 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ TH & 2 & 1 / 4 & 1 / 2 \\ TTH & 4 & 1 / 8 & 1 / 2 \\ TTTH & 8 & 1 / 16 & 1 / 2 \\ TTTTH & 16 & 1 / 32 & 1 / 2 \\ TTTTTH & 32 & 1 / 64 & 1 / 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array}

$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = + \infty,

$\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$

$\$1$ $\$1$

答えは、非常にまれなケースで、長い一連のテールが得られるので、賞金はあなたが被った莫大な費用を補償します。それは、トスごとに支払う価格がいくら高くても当てはまります。

— マイケル・ハーディ
ソース

-1

{バツ}_{2} = フラクタルに10cmほどズームインできる回数

$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$

— ジョーさん
ソース

\infty - \infty = 0

$\infty - \infty=0$