均一分布と正規分布の比率はどのくらいですか？

ましょ一様分布に従うとYが正規分布に従ってください。Xについて言えること$X$$Y$？そのためのディストリビューションはありますか？$\frac X Y$

平均ゼロの2つの法線の比率はコーシーであることがわかりました。

$X \sim \text{Uniform}(a,b)$$f(x)$

私は仮定した場合（この巣標準制服（0 、1 ）の場合）。[パラメータa < 0の場合、異なる結果が得られますが、手順はまったく同じです。]$0<a<b$$\text{Uniform}(0,1)$$a<0$

さらに、聞かせて、およびlet W = 1 / Yを PDFファイルとG （W ）：$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$$W=1/Y$$g(w)$

$V = X*W$$h(v)$

ここでmathStaticaのTransformProduct関数を使用して要旨を自動化し、どこでErfエラー関数を示しています：http : //reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html

全部終わった。

プロット

ここにpdfの2つのプロットがあります：

• $\mu = 0$$\sigma = 1$$b = 3$$a = 0, 1, 2$

• $\mu = {0,\frac12,1}$$\sigma = 1$$a=0$$b = 1$

モンテカルロチェック

$\mu = \frac12$$\sigma = 1$$a=0$$b = 1$

$h(v)$

分布を見つけることは可能です$Z=\frac{X}{Y}$$X\sim U[0,1]$$Y \sim N(\mu,\sigma^2)$$Z$

$$F_Z(z) = P(Z\le z) = P\left(\frac{X}{Y} \le z \right)$$

$Y>0$$Y<0$$Y>0$$\frac{X}{Y}\le z\implies X \le zY$$Y<0$$\frac{X}{Y}\le z\implies X \ge zY$

$-\infty<Z<\infty$$z>0$$z<0$

$z>0$$(X,Y)$

$$F_Z(z) = \int_0^1 \int_{x/z}^\infty f_Y(y) dy dx + \int_0^1 \int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy dx$$ $f_Y(y)$$Y$

$Z$

$$\begin{align*} f_Z(z) &= \frac{d}{dz}\int_0^1 \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{\partial}{\partial z} \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{z^2} f_Y\left(\frac{x}{z}\right) dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma z^2} \exp \left( - \frac{\left( \frac{x}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) dx \end{align*}$$

上記の積分は、次の変換シーケンスを使用して評価できます。

1. $u=\frac{x}{z}$
2. $v=u-\mu$
3. $v$$v$

結果の積分は、を生成するように簡略化できます。

$$f_Z(z) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\left[ \exp\left(\frac{-\mu^2}{2\sigma^2}\right)-\exp\left(\frac{-\left(\frac{1}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) \right] + \mu \left[ \Phi\left(\frac{\frac{1}{z}-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right) \right]$$

$\Phi(x)$$z<0$

この答えはシミュレーションで検証できます。Rの次のスクリプトはこのタスクを実行します。

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

確認のためのグラフをいくつか次に示します。

1. $Y\sim N(0,1)$
2. $Y\sim N(1,1)$
3. $y\sim N(1,2)$

$z=0$

$Y$$Y=\mathcal N(7,1)$$\min(Y)>1$$N\le1\rm M$$Y<1$$\frac X Y$$Y<0$set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
runif