線形モデルでの予測限界の式の取得（例：予測間隔）

次の例を見てみましょう。

set.seed(342)
x1 <- runif(100)
x2 <- runif(100)
y <- x1+x2 + 2*x1*x2 + rnorm(100)
fit <- lm(y~x1*x2)

これにより、OLS回帰を使用して、x1およびx2に基づいてyのモデルが作成されます。与えられたx_vecのyを予測したい場合は、から取得する式を使用できsummary(fit)ます。

ただし、yの下位予測と上位予測を予測する場合はどうでしょうか。（所定の信頼レベル）。

それでは、式をどのように構築しますか？

行列演算が必要になります。Excelがどのように機能するかはわかりません。とにかく、ここに詳細があります。

回帰がとして記述されているとします。$\mathbf{y} = \mathbf{X}\mathbf{\beta} + \mathbf{e}$

ましょう（同じフォーマットで予想する予測変数の値を含む行ベクトルである）。次に、予測はで与えられます と関連する分散 次に、95％の予測間隔を計算することができます（正規分布エラーを想定） これは、誤差項による不確実性を考慮していますX 、Y = X * β = X *（ X ' X ）- 1 X ' Y σ 2 [ 1 + X *（X ' X ）- 1（X * ）' ]。Y ±1.96 σ$\mathbf{X}^*$$\mathbf{X}$

$$\hat{y} = \mathbf{X}^*\hat{\mathbf{\beta}} = \mathbf{X}^*(\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{Y}$$ $$\sigma^2 \left[1 + \mathbf{X}^* (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1} (\mathbf{X}^*)'\right].$$ $$\hat{y} \pm 1.96 \hat{\sigma} \sqrt{1 + \mathbf{X}^* (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1} (\mathbf{X}^*)'}.$$ $e$および係数推定の不確実性。ただし、エラーは無視されます。そのため、予測変数の将来の値が不確実な場合、この式を使用して計算される予測間隔は狭すぎます。$\mathbf{X}^*$

さまざまな種類の予測間隔の後、偶然ですか？predict.lmマニュアルページがあり

 ## S3 method for class 'lm'
 predict(object, newdata, se.fit = FALSE, scale = NULL, df = Inf, 
         interval = c("none", "confidence", "prediction"),
         level = 0.95, type = c("response", "terms"),
         terms = NULL, na.action = na.pass,
         pred.var = res.var/weights, weights = 1, ...)

そして

「間隔」を設定すると、指定された「レベル」での信頼または予測（許容）間隔の計算が指定されます。これは、狭い間隔と広い間隔と呼ばれることもあります。

それはあなたが念頭に置いていたものですか？

@Tal：Kutnerらを線形モデルのすばらしいソースとして提案するかもしれません。

$E(Y|X_{vec})$

$E(Y|X_{vec})$$\hat{Y}$ $\pm$$\alpha$$\hat{Y}$$\hat{Y}$$\hat{Y}$$\frac{\sigma^{2}}{n}$$X_{vec}-\bar{X})^{2}\frac{\sigma^{2}}{\sum(X_{i}-\bar{X})^{2}}$