二乗正規変数とカイ二乗変数の畳み込みの分布？

最近、データの分析中に次の問題が発生しました。確率変数Xが正規分布に従い、Yが分布（n dof）に従う場合、はどのように分布しますか？これまで PDFを思いついた： $\chi^2_n$ $Z = X^2 + Y^2$ $Y^2$

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (x) & = & \frac{\partial F (\sqrt{x})}{\partial x} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{x})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \cdot {(\sqrt{x})}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot x^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

畳み込み積分のいくつかの簡略化と同様に（にはpdfとm dofがあります）： $X^2$ $\chi^2_m$

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & := & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (x) \cdot ψ_{n}^{2} (t - x) d x \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - x)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot x^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - x} + x) / 2) d x \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

誰かが実際のtについてこの積分を計算する良い方法を見ているのでしょうか、それとも数値的に計算する必要がありますか？または、はるかに単純なソリューションがありませんか？

— レオ・シラード
ソース

Y

$Y$ が2乗でなければ、具体的なアドバイスがあります。私はこれが扱いやすいとは思いません（扱いやすいと証明されたとしても、必ずしも特に啓発的ではありません）。結果をどのように処理するかによって、数値畳み込みやシミュレーションなどの計算手法を検討したいと思います。

— Glen_b-モニカの復活14

私の意見では、積分ができるとは考えにくい。

— Dave31415 14年

Dave31415ため@およびさえ、積分は、明示的に正の整数の値に対して計算することができと。多項式である係数を持つ指数関数と誤差関数の線形結合に等しくなります。評価は、置換介して実行できます。例えば、と、我々が入手。

n

$n$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$

— whuber

いいね奇数の場合、おそらく偶数の境界の結果の平均で近似できますか？またはそうでないかもしれません。

— Dave31415 14年

返信いただきありがとうございます！いくつか偶数でも例のために...私はドーソンの機能を含む同様の結果を得たが、私は一般的な解決策のためにいくつかのより多くの作業を行う必要がありますように見えます

— レオ・シラード

それが役立つ場合、変数は一般化されたガンマランダム変数です（たとえば、Stacy 1962を参照）。あなたの質問は、カイ二乗確率変数と一般化ガンマ確率変数の合計の分布を求めています。私の知る限り、結果の変数の密度には閉形式の式はありません。したがって、得られた畳み込みは、閉形式解のない積分です。これに対する数値的な解決策に悩まされることになると思います。 $Y^2$

ステイシー、EW（1962）。ガンマ分布の一般化。数学統計 33（3）、pp。1187-1192の年報。

— モニカを復活させる
ソース

これは単なるヒントです。ピアソンタイプIIIはカイ2乗にできます。たまに畳み込みは、それ自体で何かを畳み込むことで見つけることができます。NDとGDを畳み込むためにこれをなんとかして、それに対してピアソンIIIを畳み込みました。これがND とChi-Squaredでどのように機能するかはわかりません。しかし、あなたはヒントを求めましたが、これは一般的なヒントです。これで開始できます。 $^2$

— カール
ソース

これが質問にどのように答えるか説明していただけますか？直接関連していないようです。

— whuber

ピアソンタイプIII自体との畳み込みを行うことができます。何らかの理由で、あるものをそれ自体と畳み込むことは、あるものを別のものと畳み込むよりも簡単に解決できます。たとえば、ピアソンタイプIIIの畳み込みを解き、関連する問題であるNDとGDの畳み込みを得ました。

— カール

助けていないようですが、まもなく削除されます。

— カール