基本的なブートストラップ信頼区間のカバレッジ確率

現在取り組んでいるコースについて次の質問があります。

モンテカルロ研究を実施して、標準の通常のブートストラップ信頼区間と基本的なブートストラップ信頼区間のカバレッジ確率を推定します。正規母集団からサンプリングし、サンプル平均の経験的カバレッジレートを確認します。

標準の通常のブートストラップCIのカバレッジ確率は簡単です。

n = 1000;
alpha = c(0.025, 0.975);
x = rnorm(n, 0, 1);
mu = mean(x);
sqrt.n = sqrt(n);

LNorm = numeric(B);
UNorm = numeric(B);

for(j in 1:B)
{
    smpl = x[sample(1:n, size = n, replace = TRUE)];
    xbar = mean(smpl);
    s = sd(smpl);

    LNorm[j] = xbar + qnorm(alpha[1]) * (s / sqrt.n);
    UNorm[j] = xbar + qnorm(alpha[2]) * (s / sqrt.n);
}

mean(LNorm < 0 & UNorm > 0); # Approximates to 0.95
# NOTE: it is not good enough to look at overall coverage
# Must compute separately for each tail

このコースで学んだことから、基本的なブートストラップ信頼区間は次のように計算できます。

# Using x from previous...
R = boot(data = x, R=1000, statistic = function(x, i){ mean(x[i]); });
result = 2 * mu - quantile(R$t, alpha, type=1);

それは理にかなっている。私が理解していないのは、基本的なブートストラップCIのカバレッジ確率を計算する方法です。カバレッジ確率は、CIに真の値（この場合mu）が含まれる回数を表すことを理解しています。boot関数を何度も実行するだけですか？

この質問にどのように別の方法でアプローチできますか？

用語が一貫して使用されていない可能性があるため、以下は元の質問を理解する方法にすぎません。私の理解では、計算した通常のCIは要求されたものではありません。ブートストラップ複製の各セットは、1つではなく1つの信頼区間を提供します。一連のブートストラップ複製の結果から異なるCIタイプを計算する方法は次のとおりです。

B    <- 999                  # number of replicates
muH0 <- 100                  # for generating data: true mean
sdH0 <- 40                   # for generating data: true sd
N    <- 200                  # sample size
DV   <- rnorm(N, muH0, sdH0) # simulated data: original sample

計算をpackageの結果と比較したいのでboot、最初に、各複製で呼び出される関数を定義します。その引数は、元のサンプル、および単一の複製のケースを指定するインデックスベクトルです。それは戻り、の推定値でプラグイン、ならびに、プラグイン推定平均値の分散のための。後者は、ブートストラップ -CIにのみ必要です。$M^{\star}$$\mu$$S_{M}^{2\star}$$\sigma_{M}^{2}$$t$

> getM <- function(orgDV, idx) {
+     bsM   <- mean(orgDV[idx])                       # M*
+     bsS2M <- (((N-1) / N) * var(orgDV[idx])) / N    # S^2*(M)
+     c(bsM, bsS2M)
+ }

> library(boot)                                       # for boot(), boot.ci()
> bOut <- boot(DV, statistic=getM, R=B)
> boot.ci(bOut, conf=0.95, type=c("basic", "perc", "norm", "stud"))
BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
Based on 999 bootstrap replicates
CALL : 
boot.ci(boot.out = bOut, conf = 0.95, type = c("basic", "perc", "norm", "stud"))

Intervals : 
Level      Normal            Basic         Studentized        Percentile    
95%   ( 95.6, 106.0 )   ( 95.7, 106.2 )  ( 95.4, 106.2 )   ( 95.4, 106.0 )  
Calculations and Intervals on Original Scale

パッケージbootを使用replicate()しなくても、ブートストラップ複製のセットを取得するために単に使用できます。

boots <- t(replicate(B, getM(DV, sample(seq(along=DV), replace=TRUE))))

しかしboot.ci()、参考のためにの結果に固執しましょう。

boots   <- bOut$t                     # estimates from all replicates
M       <- mean(DV)                   # M from original sample
S2M     <- (((N-1)/N) * var(DV)) / N  # S^2(M) from original sample
Mstar   <- boots[ , 1]                # M* for each replicate
S2Mstar <- boots[ , 2]                # S^2*(M) for each replicate
biasM   <- mean(Mstar) - M            # bias of estimator M

基本、パーセンタイル、および -CIは、ブートストラップ推定の経験的分布に依存しています。および変位値を取得するには、ブートストラップ推定値のソートされたベクトルに対応するインデックスを見つけます（インデックスが自然数でない場合、経験的変位値を見つけるために、より複雑な補間を行うことに注意してください）。 。$t$$\alpha/2$$1 - \alpha/2$boot.ci()

(idx <- trunc((B + 1) * c(0.05/2, 1 - 0.05/2)) # indices for sorted vector of estimates
[1] 25 975

> (ciBasic <- 2*M - sort(Mstar)[idx])          # basic CI
[1] 106.21826  95.65911

> (ciPerc <- sort(Mstar)[idx])                 # percentile CI
[1] 95.42188 105.98103

以下のために -CI、我々はブートストラップ必要重要な計算に見積もりを -値を。標準正規CIの場合、臨界値は標準正規分布の値になります。$t$$t^{\star}$$t$$z$

# standard normal CI with bias correction
> zCrit   <- qnorm(c(0.025, 0.975))   # z-quantiles from std-normal distribution
> (ciNorm <- M - biasM + zCrit * sqrt(var(Mstar)))
[1] 95.5566 106.0043

> tStar <- (Mstar-M) / sqrt(S2Mstar)  # t*
> tCrit <- sort(tStar)[idx]           # t-quantiles from empirical t* distribution
> (ciT  <- M - tCrit * sqrt(S2M))     # studentized t-CI
[1] 106.20690  95.44878

これらのCIタイプのカバレッジ確率を推定するには、このシミュレーションを何度も実行する必要があります。コードを関数にラップし、CI結果のリストを返し、この要旨でreplicate()示されているように実行します。