BICを使用してKMEANSのkの数を推定する

現在、おもちゃのデータセット（ofc iris（：））のBICを計算しようとしています。ここに示すように結果を再現したいです（図5）。

これには2つの問題があります。

• 表記：
  • $n_i$ =クラスターの要素数$i$
  • $C_i$ =クラスター中心座標$i$
  • $x_j$ =クラスター iに割り当てられたデータポイント$i$
  • $m$ =クラスターの数

1）式で定義された分散 （2）：

私が見る限り、クラスター内の要素よりもクラスター$m$が多い場合、分散が負になる可能性があることは問題であり、カバーされません。これは正しいです？

2）正しいBICを計算するためにコードを機能させることができません。うまくいけばエラーはありませんが、誰かが確認できれば幸いです。方程式全体は式で見つけることができます。（5）論文の中。私はscikit learnを使用して、すべてを（キーワード：Pを正当化するために）使用しています。

from sklearn import cluster
from scipy.spatial import distance
import sklearn.datasets
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def compute_bic(kmeans,X):
    """
    Computes the BIC metric for a given clusters

    Parameters:
    -----------------------------------------
    kmeans:  List of clustering object from scikit learn

    X     :  multidimension np array of data points

    Returns:
    -----------------------------------------
    BIC value
    """
    # assign centers and labels
    centers = [kmeans.cluster_centers_]
    labels  = kmeans.labels_
    #number of clusters
    m = kmeans.n_clusters
    # size of the clusters
    n = np.bincount(labels)
    #size of data set
    N, d = X.shape

    #compute variance for all clusters beforehand
    cl_var = [(1.0 / (n[i] - m)) * sum(distance.cdist(X[np.where(labels == i)], [centers[0][i]], 'euclidean')**2)  for i in xrange(m)]

    const_term = 0.5 * m * np.log10(N)

    BIC = np.sum([n[i] * np.log10(n[i]) -
           n[i] * np.log10(N) -
         ((n[i] * d) / 2) * np.log10(2*np.pi) -
          (n[i] / 2) * np.log10(cl_var[i]) -
         ((n[i] - m) / 2) for i in xrange(m)]) - const_term

    return(BIC)



# IRIS DATA
iris = sklearn.datasets.load_iris()
X = iris.data[:, :4]  # extract only the features
#Xs = StandardScaler().fit_transform(X)
Y = iris.target

ks = range(1,10)

# run 9 times kmeans and save each result in the KMeans object
KMeans = [cluster.KMeans(n_clusters = i, init="k-means++").fit(X) for i in ks]

# now run for each cluster the BIC computation
BIC = [compute_bic(kmeansi,X) for kmeansi in KMeans]

plt.plot(ks,BIC,'r-o')
plt.title("iris data  (cluster vs BIC)")
plt.xlabel("# clusters")
plt.ylabel("# BIC")

BICの私の結果は次のようになります。

これは私が期待していたものに近づいておらず、意味もありません...しばらくの間方程式を見て、間違いを見つけることはもうありません）

次のものと比較して判断すると、数式にいくつかのエラーがあるようです。

• https://www.cs.cmu.edu/~dpelleg/download/xmeans.pdf（この論文にはいくつかの誤りがあります）
• https://github.com/bobhancock/goxmeans/blob/master/km.go
• https://github.com/mynameisfiber/pyxmeans/blob/master/pyxmeans/xmeans.py
• https://github.com/bobhancock/goxmeans/blob/master/doc/BIC_notes.pdf

1。

np.sum([n[i] * np.log(n[i]) -
               n[i] * np.log(N) -
             ((n[i] * d) / 2) * np.log(2*np.pi) -
              (n[i] / 2) * np.log(cl_var[i]) -
             ((n[i] - m) / 2) for i in range(m)]) - const_term

論文には3つのエラーがあります。4行目と5行目にはdの係数がありません。最後の行は1をmに置き換えます。

np.sum([n[i] * np.log(n[i]) -
               n[i] * np.log(N) -
             ((n[i] * d) / 2) * np.log(2*np.pi*cl_var) -
             ((n[i] - 1) * d/ 2) for i in range(m)]) - const_term

2。

const_term：

const_term = 0.5 * m * np.log(N)

する必要があります：

const_term = 0.5 * m * np.log(N) * (d+1)

3。

分散式：

cl_var = [(1.0 / (n[i] - m)) * sum(distance.cdist(p[np.where(label_ == i)], [centers[0][i]], 'euclidean')**2)  for i in range(m)]

スカラーでなければなりません：

cl_var = (1.0 / (N - m) / d) * sum([sum(distance.cdist(p[np.where(labels == i)], [centers[0][i]], 'euclidean')**2) for i in range(m)])

4。

base10ログの代わりに自然ログを使用します。

5。

最後に、そして最も重要なことは、計算しているBICが通常の定義からの逆符号を持っていることです。最小化ではなく最大化を検討している

これは基本的にeyalerのソリューションであり、いくつかのメモがあります。誰かがクイックコピー/貼り付けを希望する場合は、入力しました。

ノート：

1. eyalers 4番目のコメントは正しくありませんnp.logはすでに自然なログであり、変更は不要です

2. eyalers逆についての5番目のコメントは正しいです。以下のコードでは、最大値を探しています-この例には負のBIC番号があることに注意してください

コードは次のとおりです（これもすべてeyalerの功績です）。

from sklearn import cluster
from scipy.spatial import distance
import sklearn.datasets
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import numpy as np

def compute_bic(kmeans,X):
    """
    Computes the BIC metric for a given clusters

    Parameters:
    -----------------------------------------
    kmeans:  List of clustering object from scikit learn

    X     :  multidimension np array of data points

    Returns:
    -----------------------------------------
    BIC value
    """
    # assign centers and labels
    centers = [kmeans.cluster_centers_]
    labels  = kmeans.labels_
    #number of clusters
    m = kmeans.n_clusters
    # size of the clusters
    n = np.bincount(labels)
    #size of data set
    N, d = X.shape

    #compute variance for all clusters beforehand
    cl_var = (1.0 / (N - m) / d) * sum([sum(distance.cdist(X[np.where(labels == i)], [centers[0][i]], 
             'euclidean')**2) for i in range(m)])

    const_term = 0.5 * m * np.log(N) * (d+1)

    BIC = np.sum([n[i] * np.log(n[i]) -
               n[i] * np.log(N) -
             ((n[i] * d) / 2) * np.log(2*np.pi*cl_var) -
             ((n[i] - 1) * d/ 2) for i in range(m)]) - const_term

    return(BIC)



# IRIS DATA
iris = sklearn.datasets.load_iris()
X = iris.data[:, :4]  # extract only the features
#Xs = StandardScaler().fit_transform(X)
Y = iris.target

ks = range(1,10)

# run 9 times kmeans and save each result in the KMeans object
KMeans = [cluster.KMeans(n_clusters = i, init="k-means++").fit(X) for i in ks]

# now run for each cluster the BIC computation
BIC = [compute_bic(kmeansi,X) for kmeansi in KMeans]

print BIC