固定効果モデルで時間不変変数を保持する方法

私はイタリアの大企業の従業員に関する10年以上のデータを持っていますが、男性と女性の収入の性差がどのように変化しているかを知りたいと思います。この目的のために、プールされたOLSを実行します：ここで、は1年あたりのログ収益、は個人と時間によって異なる共変量を含み、は年のダミー、は労働者が男性の場合は1、それ以外の場合はゼロです。

y_{i t} = X_{i t}^{'} β + δ {m a l e}_{i} + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} d_{t} + ε_{i t}

$y_{it} = X'_{it}\beta + \delta {\rm male}_i + \sum^{10}_{t=1}\gamma_t d_t + \varepsilon_{it}$

y

$y$

X_{i t}

$X_{it}$

d_{t}

$d_t$

{m a l e}_{i}

${\rm male}_i$

今、私は共変量のいくつかが観測されていない固定効果と相関しているかもしれないという懸念を持っています。しかし、固定効果（内）推定器または最初の違いを使用すると、この変数は時間とともに変化しないため、性別ダミーが失われます。ランダム効果推定器を使用したくないのは、非常に非現実的でありそうもない仮定を置くと人々が言うのをよく耳にするからです。

性別をダミーに保ち、固定効果を同時に制御する方法はありますか？方法がある場合、性別変数の仮説検定のエラーに関連する他の問題をクラスター化するか、注意する必要がありますか？

— user42263
ソース

回答:

固定効果回帰で性別ダミーを維持するためのいくつかの潜在的な方法があります。

見積もり内
あなたは、あなたのプールされたOLSモデルに比べて同様のモデルがあるとし

y_{i t} = β_{1} + \sum_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ_{1} (m a l e_{i}) + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} (d_{t} \cdot m a l e_{i}) + X_{i t}^{'} θ + c_{i} + ϵ_{i t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma_1 (male_i) + \sum^{10}_{t=1} \gamma_t (d_t \cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$ ここで、変数は以前と同じです。今そのノート

β_{1}

$\beta_1$ 及び

β_{1} + γ_{1} (m a l e_{i})

$\beta_1 + \gamma_1 (male_i)$ 推定器内の固定効果と区別できないので、特定することができない

c_{i}

$c_i$ 。ことを考えると

β_{1}

$\beta_1$ 基準年のための切片で

t = 1

$t=1$ 、

γ_{1}

$\gamma_1$ 、この期間の損益へのジェンダー効果です。私たちは、この場合に識別することができますしている

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2, ..., \gamma_{10}$ 、彼らはあなたの時間ダミーと相互作用していると、彼らは最初の期間に、あなたの性別変数の相対的な部分的な効果の違いを測定するため。これは、あなたがあなたの増加観測場合は

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2,...,\gamma_{10}$ 時間をかけて、これは男性と女性の間の収益格差の拡大のための徴候です。

まず差見積もり
あなたが時間をかけて、男性と女性との間の差の全体的な効果を知りたい場合は、次のモデル試すことができます：

y_{i t} = β_{1} + \sum_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ (t \cdot m a l e_{i}) + X_{i t}^{'} θ + c_{i} + ϵ_{i t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma (t\cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$ 変数

t = 1, 2, . . ., 10

$t = 1, 2,...,10$ は時不変の性別ダミーと相互作用します。今、あなたが取る場合は、最初の違いは、

β_{1}

$\beta_1$ および

c_{i}

$c_i$ ドロップアウトして、あなたが得る

y_{i t} - y_{i (t - 1)} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} (d_{t} - d_{(t - 1)}) + γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) + (X_{i t}^{'} - X_{i (t - 1)}^{'}) θ + ϵ_{i t} - ϵ_{i (t - 1)}

$y_{it} - y_{i(t-1)} = \sum^{10}_{t=3} \beta_t (d_t - d_{(t-1)}) + \gamma (t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) + (X'_{it}-X'_{i(t-1)})\theta + \epsilon_{it}-\epsilon_{i(t-1)}$ 次に、

γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) = γ [(t - (t - 1)) \cdot m a l e_{i}] = γ (m a l e_{i})

$\gamma(t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) = \gamma[(t - (t-1))\cdot male_i] = \gamma (male_i)$ と、あなたは収益性の差を識別することができる

γ

$\gamma$ 。最終的な回帰式は次のようになりますので：

Δ y_{i t} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} Δ d_{t} + γ (m a l e_{i}) + Δ X_{i t}^{'} θ + Δ ϵ_{i t}

$\Delta y_{it} = \sum_{t=3}^{10}\beta_t \Delta d_t + \gamma(male_i) + \Delta X'_{it}\theta + \Delta \epsilon_{it}$ 、あなたが興味の効果を得ます。良い点は、これは統計ソフトウェアに簡単に実装できますが、期間を失うことです。

Hausman-Taylor Estimator
この推定器は、固定効果と相関しないと仮定できる回帰変数と、潜在的に相関する回帰変数を区別します。さらに、時変変数と時不変変数を区別します。してみましょうと相関している表す変数とで、のは、あなたの性別変数が唯一の時間不変変数であるとしましょう人々を。ハウスマン・テイラー推定次いで、ランダム効果変換適用： $c_i$ $1$ $c_i$ $2$ ここでチルダ表記手段ここでありますランダム効果変換とに使用

{\tilde{y}}_{i t} = {\tilde{X}}_{1 i t}^{'} + {\tilde{X}}_{2 i t}^{'} + γ ({\tilde{m a l e}}_{i 2}) + {\tilde{c}}_{i} + {\tilde{ϵ}}_{i t}

$\tilde{y}_{it} = \tilde{X}'_{1it} + \tilde{X}'_{2it} + \gamma (\widetilde{male}_{i2}) + \tilde{c}_i + \tilde{\epsilon}_{it}$

{\tilde{X}}_{1 i t} = X_{1 i t} - {\hat{θ}}_{i} {\bar{X}}_{1 i}

$\tilde{X}_{1it} = X_{1it} - \hat{\theta}_i \overline{X}_{1i}$

{\hat{θ}}_{i}

$\hat{\theta}_i$

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$ 各個人の時間平均です。これは、グループ

変数が

との相関関係を除去するために装備されているため、回避したい通常のランダム効果推定量とは異なります。以下のために

楽器がある

。同じことは、あなたが潜在的にそれがで計測されます固定効果と相関することが性別変数を指定している場合は、時不変の変数のために行われる

あなたはより多くの時間変化する時不変変数よりを持っている必要がありますので、。

2

$2$

c_{i}

$c_i$

{\tilde{X}}_{2 i t}

$\tilde{X}_{2it}$

X_{2 i t} - {\bar{X}}_{2 i}

$X_{2it} - \overline{X}_{2i}$

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$

これらのすべては少し複雑に聞こえるかもしれませんが、この推定器には缶詰のパッケージがあります。たとえば、Stataでは、対応するコマンドはxthtaylorです。この方法の詳細については、Cameron and Trivedi（2009）「Microeconometrics Using Stata」を参照してください。それ以外の場合は、少し簡単な以前の2つの方法をそのまま使用できます。

推論
仮説検定では、固定効果回帰でとにかく行う必要があること以外に考慮する必要があるものはあまりありません。たとえば、個々のID変数でクラスタリングすることにより、エラーの自己相関に注意する必要があります。これにより、自己相関を扱うクラスター（個人）間の任意の相関構造が可能になります。参照については、Cameron and Trivedi（2009）を再度参照してください。

— アンディ
ソース

性別のダミーを維持する別の潜在的な方法は、時間不変変数を使用した固定効果モデルのMundlak（1978）のアプローチです。Mundlakのアプローチは、性別効果を時変変数のグループ平均に投影できると仮定します。

マンドラック、Y。1978：時系列と断面データのプーリングについて。計量経済学46：69-85。

— エメリービル
ソース

別の方法は、従属変数として平均誤差を使用して、第2段階の式で時不変係数を推定することです。

まず、FEを使用してモデルを推定します。ここからは、推定の取得および。簡単にするために、年の影響を忘れましょう。推定誤差に定義以前のように： $\beta$ $\gamma_{t}$ $\hat{u}_{it}$

{\hat{u}}_{i t} \equiv y_{i t} - X_{i t} \hat{β}

$\hat{u}_{it} \equiv y_{it} - X_{it}\hat{\beta}$

線形予測子 次のとおりです。 $\bar{u}_{i}$

{\bar{u}}_{i} \equiv \frac{\sum_{t = 1}^{T} {\hat{u}}_{i}}{T} = \bar{y_{i t}} - {\bar{x}}_{i} \hat{β}

$\bar{u}_{i} \equiv \frac{\sum_{t=1}^{T}\hat{u}_{i}}{T} = \bar{y_{it}} - \bar{x}_{i}\hat{\beta}$

次に、次の第2段階の方程式を考えます。

{\bar{u}}_{i} = δ m a l e_{i} + c_{i}

$\begin{equation} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i} \end{equation}$

$c_{i}$ $\delta$ $T \rightarrow \infty$

$\bar{u}_{i}$

{\bar{u}}_{i} = {\bar{x}}_{i} β - {\bar{x}}_{i} \hat{β} + δ m a l e_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t = 1}^{T} ϵ_{i t}}{T}

$\bar{u}_{i} = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}\hat{\beta} + \delta male_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}$

この推定量の期待値は次のとおりです。

E ({\bar{u}}_{i}) = {\bar{x}}_{i} β - {\bar{x}}_{i} E (\hat{β}) + δ m a l e_{i} + E (c_{i}) + \frac{\sum_{t = 1}^{T} E (ϵ_{i t})}{T}

$E(\bar{u}_{i}) = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}E(\hat{\beta}) + \delta male_{i} + E(c_{i}) + \frac{\sum_{t=1}^{T}E(\epsilon_{it})}{T}$

$\hat{\beta}$ $\beta$ $E(\epsilon_{it}) = 0$

E ({\bar{u}}_{i}) = δ m a l e_{i} + E (c_{i})

$E(\bar{u}_{i}) = \delta male_{i} + E(c_{i})$

これは、予測子はモデルの時不変成分の不偏推定量です。

一貫性に関して、この予測子の確率限界は次のとおりです。

p lim_{T \to \infty} {\bar{u}}_{i} = p lim_{T \to \infty} ({\bar{x}}_{i} β) - p lim_{T \to \infty} ({\bar{x}}_{i} \hat{β}) + p lim_{T \to \infty} δ m a l e_{i} + p lim_{T \to \infty} c_{i} + p lim_{T \to \infty} (\frac{\sum_{t = 1}^{T} ϵ_{i t}}{T})

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \bar{x}_{i}\beta\right) - p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left(\bar{x}_{i}\hat{\beta}\right) + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \delta male_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} c_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}\right)$

繰り返しますが、FEの仮定を考えると、 $\hat{\beta}$ の一貫した推定量である $\beta$ 、および誤差項はその平均（ゼロ）に収束します。したがって：

p \underset{T \to \infty}{リム} {\bar{あなたは}}_{私} = δ m a l e_{私} + c_{私}

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i}$

繰り返しますが、予測子はモデルの時不変成分の一貫した推定量です。

— ルチョナチョ
ソース

Mundlakチェンバレンデバイスは、これに最適なツールです。ランダム効果モデルを使用して、時変変数の固定効果を暗黙的に推定すると同時に時不変変数のランダム効果も推定するため、通常、相関ランダム効果モデルと呼ばれます。

ただし、統計ソフトウェアでは、ランダム効果モデルと同じように実装しますが、すべての時変共変量の平均を追加する必要があります。

— マーティン・ポール
ソース