指数の家族分布では、平均と分散が常に存在しますか？

スカラー確率変数がpdfをもつベクトルパラメーター指数ファミリーに属していると仮定します。 $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

ここで、はパラメーターベクトルで、は、結合十分統計量です。 ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$

各の平均と分散 $T_i(x)$ が存在することを示すことができます。ただし、平均と分散 $X$ （つまり、 $E(X)$ と $Var(X)$ ）は常に存在しますか？そうでない場合、平均と変数が存在しない、この形式の指数ファミリー分布の例はありますか？

ありがとうございました。

— ウェイ
ソース

、、、およびを取ると、提供、生成 $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

グラフは、（それぞれ青、赤、金で示されています。 $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

漸近的に比例する被積分関数ため、明らかに重みの絶対モーメント以上は存在しません。、場合に限り、限界で収束積分を生成します。特に、この分布には平均さえありません（分散もありません）。 $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— whuber
ソース

条件わかりません。あなたは意味するか？とき、定義されていません負であり、PDFファイルにすることはできません私は逃したものを教えてください。ありがとう。

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— Wei

の計算でマイナス記号が省略されたため、お詫びします。数式で置き換えました。私は本当に意味します。

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— whuber

例をありがとう。瞬間について同意します。自体の瞬間はどうですか？たとえば、上記の例で場合、存在しますか？

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— 魏

ルベーグ積分は被積分関数の正と負の部分で定義されるため、のモーメントはモーメントの場合にのみ存在します存在します。

x

$x$

| x |

$|x|$

— whuber

@Wei：は、場合にのみ存在します。この制限がない場合、期待値は一部のCDFに対して一意に定義されません。

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— デニス