2つの正規分布確率変数の合計への寄与の直感的な説明

平均およびおよび標準偏差および 2つの正規分布独立ランダム変数およびがあり、であることがわかった場合（エラーが発生していないと仮定して）及び所与また、通常の手段で配布されているおよび標準偏差 $X$ $Y$ $\mu_X$ $\mu_Y$ $\sigma_X$ $\sigma_Y$ $X+Y=c$ $X$ $Y$ $c$

μ_{X | c} = μ_{X} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{X}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{X|c} = \mu_X + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_X^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

μ_{Y | c} = μ_{Y} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{Y|c} = \mu_Y + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

σ_{X | c} = σ_{Y | c} = \sqrt{\frac{σ_{X}^{2} σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}} .

$\sigma_{X|c} = \sigma_{Y|c} = \sqrt{ \frac{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}.$

与えられた場合、条件付き標準偏差が同じであるのは驚くことではありません。条件付き標準偏差が依存しないことは興味深いことです。 $c$ $c$

私が頭に入れないのは条件付きの手段であり、元の標準偏差ではなく、元の分散に比例する超過分共有します。 $(c - \mu_X - \mu_Y)$

たとえば、ゼロ平均、、標準偏差および場合、を条件とすると、およびなり、つまり、比率ほうが自然だと直感的に思っていたとしても、比率場合。 誰でもこれについて直感的な説明をすることができますか？ $\mu_X=\mu_Y=0$ $\sigma_X =3$ $\sigma_Y=1$ $c=4$ $E[X|c=4]=3.6$ $E[Y|c=4]=0.4$ $9:1$ $3:1$

これはMath.SEの質問によって引き起こされました

normal-distribution conditional-probability

— ヘンリー
ソース

この質問は、および見ることで、の場合に容易に還元されます。 $\mu_X = \mu_Y = 0$ $X-\mu_X$ $Y-\mu_Y$

明らかに、条件付き分布は正規です。したがって、それぞれの平均、中央値、およびモードは一致します。モードは、曲線制約されたおよび 2変量PDFの極大点の座標で発生し。これは、この場所での2変量PDFの輪郭を意味し、拘束曲線は平行な接線を持ちます。（これはラグランジュ乗数の理論です。）等高線の方程式はいくつかの定数の（すなわち、全ての輪郭が楕円である）が存在しそこから、それらの勾配は、平行でなければならないように $X$ $Y$ $g(x,y) = x+y = c$ $f(x,y) = x^2/(2\sigma_X^2) + y^2/(2\sigma_Y^2) = \rho$ $\rho$ $\lambda$

(\frac{x}{σ_{X}^{2}}, \frac{y}{σ_{Y}^{2}}) = \nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y) = λ (1, 1) .

$\left(\frac{x}{\sigma_X^2}, \frac{y}{\sigma_Y^2}\right) = \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) = \lambda(1,1).$

ここに画像の説明を入力してください

すぐに、条件付き分布のモード（したがって平均も）は、SDではなく分散の比率によって決定されることになります。

この分析は相関のあるとでも機能し、合計だけでなく、あらゆる線形制約に適用されます。 $X$ $Y$

— ウーバー
ソース

それは非常に印象的で、私が求めていたよりも完全です。私はダイアグラムと楕円の接線が楕円の中心を通過しないというステートメントに満足しているので、接線の赤い点は、より高い標準偏差を持つランダム変数からより不均衡に多くを取る必要があります。

— ヘンリー

それはよく言い表されていませんでした。つまり、中心から赤い点までの線は接線に対して垂直ではありません。

— ヘンリー