おそらく標準偏差がゼロのデータセットのピアソン相関？

標準偏差がゼロのデータセットのピアソン相関係数の計算に問題があります（つまり、すべてのデータの値が同じです）。

次の2つのデータセットがあるとします。

float x[] = {2, 2, 2, 3, 2};
float y[] = {2, 2, 2, 2, 2};

相関係数「r」は、次の式を使用して計算されます。

float r = covariance(x, y) / (std_dev(x) * std_dev(y));

ただし、データセット「y」のすべてのデータは同じ値を持つため、標準偏差std_dev（y）はゼロになり、「r」は未定義になります。

この問題の解決策はありますか？または、この場合、他の方法を使用してデータ関係を測定する必要がありますか？

「サンプリング理論」の人々は、そのような推定値は存在しないと言うでしょう。しかし、あなたはそれを得ることができます、あなたはあなたの前の情報について合理的である必要があり、はるかに難しい数学的な仕事をします。

ベイズ推定法を指定し、事後が前と同じである場合、データはパラメーターについて何も言わないと言うことができます。物事が「特異」になる場合があるため、無限のパラメータ空間を使用することはできません。ピアソン相関を使用しているため、2変量の正規尤度があると仮定しています。

ここで、 QI=（XI-μX）

$$p(D|\mu_x,\mu_y,\sigma_x,\sigma_y,\rho)=\left(\sigma_x\sigma_y\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}\right)^{-N}exp\left(-\frac{\sum_{i}Q_i}{2(1-\rho^2)}\right)$$ $$Q_i=\frac{(x_i-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}+\frac{(y_i-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}-2\rho\frac{(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y}$$

ここで、1つのデータセットが同じ値である可能性があることを示すために、と記述します。$y_i=y$

ここで 、S2、X=

$$\sum_{i}Q_i=N\left[\frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}+\frac{s_x^2 + (\overline{x}-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}-2\rho\frac{(\overline{x}-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y}\right]$$ $$s_x^2=\frac{1}{N}\sum_{i}(x_i-\overline{x})^2$$

あなたの可能性は、4つの数に依存ように、。あなたはの見積もりたいので、ρを、あなたの前で乗算する必要がある、と迷惑なパラメータアウト統合するので、μ のx、μ yの、σ のx、σ yと。統合の準備をするために、「正方形を完成させる」 ∑ i Q $s_x^2,y,\overline{x},N$$\rho$$\mu_x,\mu_y,\sigma_x,\sigma_y$

$$\frac{\sum_{i}Q_i}{1-\rho^2}=N\left[\frac{\left(\mu_y-\left[y-(\overline{x}-\mu_x)\frac{\rho\sigma_y}{\sigma_x}\right]\right)^2}{\sigma_y^2(1-\rho^{2})}+\frac{s_x^2}{\sigma_{x}^{2}(1-\rho^{2})} + \frac{(\overline{x}-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}\right]$$

ここで、注意を怠って適切に正規化された確率を確保する必要があります。そうすれば、トラブルに巻き込まれることはありません。そのようなオプションの1つは、それぞれの範囲に制限を設けるだけの、情報量の少ない事前分布を使用することです。我々が持っているので、フラット前やと手段のためにL σ < σ のx、σ yの < U σ前ジェフリーズと標準偏差のために。これらの制限は、問題について考える少しの「常識」で簡単に設定できます。ρに対して不特定の事前確率をとります$L_{\mu}<\mu_x,\mu_y<U_{\mu}$$L_{\sigma}<\sigma_x,\sigma_y<U_{\sigma}$$\rho$、そして、我々は得る（ユニフォームは問題なく動作するはずであり、特異点を切り捨てない場合）：$\pm 1$

$$p(\rho,\mu_x,\mu_y,\sigma_x,\sigma_y)=\frac{p(\rho)}{A\sigma_x\sigma_y}$$

ここで、。これにより、次のものが得られます。$A=2(U_{\mu}-L_{\mu})^{2}[log(U_{\sigma})-log(L_{\sigma})]^{2}$

$$p(\rho|D)=\int p(\rho,\mu_x,\mu_y,\sigma_x,\sigma_y)p(D|\mu_x,\mu_y,\sigma_x,\sigma_y,\rho)d\mu_y d\mu_x d\sigma_x d\sigma_y$$

$$=\frac{p(\rho)}{A[2\pi(1-\rho^2)]^{\frac{N}{2}}}\int_{L_{\sigma}}^{U_{\sigma}}\int_{L_{\sigma}}^{U_{\sigma}}\left(\sigma_x\sigma_y\right)^{-N-1}exp\left(-\frac{N s_x^2}{2\sigma_{x}^{2}(1-\rho^{2})}\right) \times$$ $$\int_{L_{\mu}}^{U_{\mu}}exp\left(-\frac{N(\overline{x}-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2}\right)\int_{L_{\mu}}^{U_{\mu}}exp\left(-\frac{N\left(\mu_y-\left[y-(\overline{x}-\mu_x)\frac{\rho\sigma_y}{\sigma_x}\right]\right)^2}{2\sigma_y^2(1-\rho^{2})}\right)d\mu_y d\mu_x d\sigma_x d\sigma_y$$

Now the first integration over $\mu_y$ can be done by making a change of variables $z=\sqrt{N}\frac{\mu_y-\left[y-(\overline{x}-\mu_x)\frac{\rho\sigma_y}{\sigma_x}\right]}{\sigma_y\sqrt{1-\rho^{2}}}\implies dz=\frac{\sqrt{N}}{\sigma_y\sqrt{1-\rho^{2}}}d\mu_y$ and the first integral over $\mu_y$ becomes:

$$\frac{\sigma_y\sqrt{2\pi(1-\rho^{2})}}{\sqrt{N}}\left[\Phi\left( \frac{U_{\mu}-\left[y-(\overline{x}-\mu_x)\frac{\rho\sigma_y}{\sigma_x}\right]}{\frac{\sigma_y}{\sqrt{N}}\sqrt{1-\rho^{2}}} \right)-\Phi\left( \frac{L_{\mu}-\left[y-(\overline{x}-\mu_x)\frac{\rho\sigma_y}{\sigma_x}\right]}{\frac{\sigma_y}{\sqrt{N}}\sqrt{1-\rho^{2}}} \right)\right]$$

And you can see from here, no analytic solutions are possible. However, it is also worthwhile to note that the value $\rho$ has not dropped out of the equations. This means that the data and prior information still have something to say about the true correlation. If the data said nothing about the correlation, then we would be simply left with $p(\rho)$ as the only function of $\rho$ in these equations.

It also shows how that passing to the limit of infinite bounds for $\mu_y$ "throws away" some of the information about $\rho$, which is contained in the complicated looking normal CDF function $\Phi(.)$. Now if you have a lot of data, then passing to the limit is fine, you don't loose much, but if you have very scarce information, such as in your case - it is important keep every scrap you have. It means ugly maths, but this example is not too hard to do numerically. So we can evaluate the integrated likelihood for $\rho$ at values of say $-0.99,-0.98,\dots,0.98,0.99$ fairly easily. Just replace the integrals by summations over a small enough intervals - so you have a triple summation

I agree with sesqu that the correlation is undefined in this case. Depending on your type of application you could e.g. calculate the Gower Similarity between both vectors, which is: $gower(v1,v2)=\frac{\sum_{i=1}^{n}\delta(v1_i,v2_i)}{n}$ where $\delta$ represents the kronecker-delta, applied as function on $v1,v2$.

So for instance if all values are equal, gower(.,.)=1. If on the other hand they differ only in one dimension, gower(.,.)=0.9. If they differ in every dimension, gower(.,.)=0 and so on.

Of course this is no measure for correlation, but it allows you to calculate how close the vector with s>0 is to the one with s=0. Of course you can apply other metrics,too, if they serve your purpose better.

The correlation is undefined in that case. If you must define it, I would define it as 0, but consider a simple mean absolute difference instead.

This question is coming from programmers, so I'd suggest plugging in zero. There's no evidence of a correlation, and the null hypothesis would be zero (no correlation). There might be other context knowledge that would provide a "typical" correlation in one context, but the code might be re-used in another context.