なぜ幾何分布と超幾何分布はそう呼ばれているのですか？

なぜ幾何分布と超幾何分布がそれぞれ「幾何」と「超幾何」と呼ばれるのですか？

彼らのpmfsが特別な形をとっているからでしょうか？ありがとう！

distributions terminology history

— ティム
ソース

はい、用語は確率質量関数（pmfs）を指します。

2500年前、（図書VIIIと彼のIVにおけるユークリッドの要素は）一般的なプロポーションを持つ長さのシーケンスを研究します。。ある時点で、このようなシーケンスは「幾何学的進行」として知られるようになりました（ただし、「幾何学的」という用語は、同様の理由で、現在「算術」と呼ばれる他の多くの通常のシリーズに簡単に適用できます）。

パラメーター $p$ を持つ幾何分布の確率質量関数は、幾何学的な進行を形成します

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, \dots, p (1 - p)^{n}, \dots .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

ここで共通の割合は $1-p$ です。

数百年前、楕円曲線、微分方程式、および数学の深く相互接続された他の多くの分野の研究において、このような進行の広範にわたる一般化が重要になりました。一般化では、位置およびでの連続する項間の相対的な比率は変化する可能性があると想定していますが、その変化の性質を制限します。比率は特定の有理関数でなければなりません。等比数列「を超えた」これらの「オーバー」行くかは、（そのための合理的な機能は一定である）、彼らはと呼ばれていたため、超幾何を古代ギリシャ語の接頭辞から $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$ （「ハイパー」）。

パラメータを持つ超幾何関数の確率質量関数 $N, K,$ および持つ形式は $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

適切な。したがって、連続する確率の比率は等しい $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

有理関数程度の。これにより、確率が（特定の種類の）超幾何学的進行になります。 $k$ $(2,2)$

— ウーバー
ソース

ありがとう！pmfsが幾何学的または超幾何学的な進行を形成する他の分布はありますか？

— ティム

pmfが等比数列を形成する場合、シフト、再スケーリング、および/または切り捨てられた等比分布でなければなりません。次数（2,2）の超幾何学的な進行を形成する場合、同様の結論が成り立ちます。関連付けられたディストリビューションが存在する任意の一連の有限の値の和、および他の多くのディストリビューションへの超幾何分布の一般化ので、（異なる有理関数を使用して）こと。それらのほとんどには名前がありません。例外の1つは、pmfが次数（1,1）の超幾何である負の二項分布です。

— whuber

ありがとう！ポアソン分布のpmfは特別なシリーズ/進行を形成しますか？レートパラメーター

ポアソン分布が与えられた場合、

ます。pmfは特別なシリーズまたは進行を形成しますか？

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

— ティム

はい、それは次数（0,1）の有理関数なので、超幾何学的進行の一般的な定義に適合します。

— whuber

ある情報源によると、それは幾何学的分布のpmf（k）がpmf（k-1）とpmf（k + 1）の幾何平均であるためです。2つの数値AとBの幾何平均は。古典的には、この問題は、幾何学的な問題である、長さがAとBの辺を持つ長方形に等しい面積を持つ正方形の辺の長さを見つけると解釈されていました。 $\sqrt{A B}$

— ベリーシュアイ
ソース

あなたの情報源は、私の答えの冒頭で私が（多少楕円的に）言及していたような推測に頼っています。インターネットは同じ主張をする人でいっぱいですが、算術平均を幾何平均として見つけることも幾何学的に簡単であるため、最終的にこのプロパティ（「幾何」構造を持つ）は何も説明しないようです。「幾何学」と「算術」の実際の歴史的使用を追跡して、これらの用語が実際にどのように発生したかを理解できる機関を見つけることは非常に興味深いでしょう。

— whuber